検索用コード
aを定数とする.\ 次の不等式を解け.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ x^2-(a+1)x+a\leqq0        (2)\ \ ax^2-ax-2a>0$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ ax^2-(a^3+2a^2)x+2a^4\geqq0$ \\
\{文字係数の2次不等式
2次不等式の基本は 文字を含んでいて$\bm{\alpha}$と$\bm{\beta}$の大小関係が決まらないとき,\ 場合分けする必要がある.}} \\\\\\
文字を含んでいようといまいと,\ まず因数分解を考えるのは方程式・不等式の基本である. \\[.2zh] (x-a)(x-1)=0とするとx=a,\ 1だが,\ aと1の大小関係はaの値によって変わってくる. \\[.2zh] よって,\ a>1の場合とa<1の場合を分けて答えなければならない. \\[.2zh] a>1とa<1の場合だけでなく,\ 重解となるa=1の場合も忘れずに考慮する. \\[.2zh] このとき,\ (x-1)^2\leqq0\ となり図形的にはx軸と接するグラフとなるから,\ x=1のみが解となる. \end{array}}\right]$}} \\\\\\  (2)\ \ $ax^2-ax-2a>0 より \textcolor{red}{a(x+1)(x-2)>0}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $[1]\ \ \bm{a>0\ のとき} \textcolor{red}{(x+1)(x-2)>0}\ より \bm{x<-\,1,\ 2<x}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $[2]\ \ \bm{a=0\ のとき} \textcolor{red}{0>0}\ より \bm{解なし}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $[3]\ \ \bm{a<0\ のとき} \textcolor{red}{(x+1)(x-2)<0}\ より \bm{-\,1<x<2}$ \\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} まず因数分解を考えるが,\ 2次3項式だからといってすぐにたすき掛けしてはならない. \\[.2zh] \bm{因数分解の最優先事項は「共通因数をくくり出す」}である.\ 本問はaをくくり出せる. \\[1zh] さて,\ 安易にa(x+1)(x-2)>0の両辺を文字aで割って(x+1)(x-2)>0としてはならない. \\[.2zh] もしa<0であれば不等号の向きが逆になるし,\ a=0ならば割ること自体許されない. \\[.2zh] 結局,\ a>0,\ a=0,\ a<0で場合分けすることになる. \\[.2zh] 問題が「2次不等式」ならばa\neqq0としてよいが,\ 本問は「不等式」なのでa=0の場合も考慮する. \\[1zh] [1]\ \ a>0のとき,\ 両辺を普通にaで割ればよい. \\[1zh] [3]\ \ a<0のとき,\ 両辺をaで割ると不等号の向きが逆になることに注意する. \\[1zh] [2]\ \ a=0のとき,\ そもそも割れないので代入すると,\ 0>0\ となる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ xの値が何であれ0>0が成り立つことはないので,\ 「解なし」となる.
まずは因数分解である. ax^2-(a^3+2a^2)x+2a^4=a{x^2-(a^2+2a)x+2a^3}=a(x-a^2)(x-2a) \\[.2zh] (2)と同様,\ 係数のaが正か0か負かで場合分けすることになる. \\[.2zh] しかも,\ a^2\,と2aの大小関係も変化するので,\ この場合分けも必要になる. \\[1zh] [1]\ \ どの順番でもよいが,\ 特殊な場合を後回しにすると忘れるので,\ a=0の場合を先に処理する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=0を代入すると,\ xの値によらず0\geqq0となるから,\ 解はすべての実数である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 念のため確認しておくと,\ 「\geqq」は「>\dot{ま}\dot{た}\dot{は}=」を意味する記号である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 0>0は成り立たないが0=0が成り立つから,\ 0\geqq0は正しい不等式なのである. \\[1zh] [2]\ \ a>0のとき,\ 両辺を普通に割ることができる.\ さらに,\ a^2\,と2aの大小関係で場合を分ける. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2>2a\ \Longleftrightarrow\ a<0,\ 2<a\ であるが,\ a>0が前提なのでa>2である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2>2aの両辺をa\,(>0)で割ってa>2と考えてもよい.\ こちらの考え方がスマートだろう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2=2aの両辺をa\,(>0)で割るとa=2である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2<2aの両辺をa\,(>0)で割るとa<2であるが,\ a>0が前提なので0<a<2となる. \\[1zh] [3]\ \ a<0のとき,\ 両辺をaで割ると不等号の向きが逆転する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2>2aの両辺をa\,(<0)で割るとa<2であるが,\ a<0が前提なのでa<0となる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2=2aの両辺をa\,(<0)で割るとa=2であるが,\ a<0が前提なので不適である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a^2<2aの両辺をa\,(<0)で割るとa>2であるが,\ a<0が前提なので不適である.