(1)の解答で「①に代入」や「②に代入」とありますが、問題で与えられた式の「1つめの式に代入」と「2つめの式に代入」の誤りですm(_ _)m

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2次方程式$x^2+2kx+2=0$と$x^2+4x+k=0$がただ1つの共通解をもつとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $k$の値と共通解を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 2次方程式$x^2-(k+2)x+2k=0$と$x^2-(k-1)x-4=0$が共通解をもつとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $k$の値と共通解を求めよ. \\[1zh] %\hspace{.5zw}2つの2次方程式$x^2+kx+k^2-4=0$と$x^2-3x-k+2=0$がそれぞれ異なる2つの解をもち,\ それらのうち1つだけが一致するとき,\ $k$の値と共通解を求めよ. [東海大] \\
\hspace{.5zw}(3)\ \ 2次方程式$2x^2-(3m-1)x+m^2-m=0$と$x^2-(2m-5)x+m^2-5m+6=0$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ がただ1つの共通解をもつとき,\ $m$の値と共通解を求めよ.     [国士舘大] \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{2つの2次方程式の共通解}}}} \\\\
共通解の問題は,\ 大きく3パターンに分類される. \\[1zh] [1]\ \ 因数分解できない場合,\ \textbf{\textcolor{red}{共通解を$\bm{\alpha}$とおいて代入し,\ 連立する}}(最頻出). \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ このとき,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{最高次の項を消去}}すると上手く因数分解できることが多い. \\[1zh] [2]\ \ 一方が因数分解できる場合,\ その\textbf{\textcolor{red}{解を具体的に求め,\ 他方もその解をもつよう立式する.}} \\[1zh] [3]\ \ 両方が因数分解できる場合,\ \textbf{\textcolor{red}{それぞれの解を具体的に求め,\ 一致する条件を考える.}} \\\\
最後,\ \textbf{\textcolor{cyan}{問題の条件を満たすか確認する.
どちらも因数分解できない.\ 共通解を\,\alpha\,とし,\ \bm{f(x)=0の解がx=\alpha\ \Longleftrightarrow\ f(\alpha)=0}\ を使う. \\[.2zh] 最高次の項を消去すると因数分解でき,\ \bm{AB=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ または\ B=0}\ が利用できる. \\[.2zh] 後はkの値を元の方程式に代入し,\ 実際に解を求めて問題の条件を満たすか確認する. \\[1zh] さて,\ \maru1-\maru2は,\ \bm{f(\alpha)=0\ かつ\ g(\alpha)=0\ \Longrightarrow\ mf(\alpha)+ng(\alpha)=0}\ の利用を意味する. \\[.2zh] 通常,\ m,\ nは最高次の項が消えるように設定する. \\[.2zh] 本問の場合,\ m=1,\ n=-\,1とすればよく,\ f(\alpha)-g(\alpha)=0\ (\maru1-\maru2)を計算したわけである. \\[.2zh] 注意すべきは,\ \Longrightarrow\ は明らかに成り立つが,\ \bm{\Longleftarrow\ は成り立たない}ことである. \\[.2zh] つまり,\ f(\alpha)-g(\alpha)=0だからといって,\ f(\alpha)=0,\ g(\alpha)=0が成り立つとは限らない. \\[.2zh] 実際
\alpha=-\,1,\ 2が求まるが,\ このとき明らかに\ \alpha^2=0と\ \alpha+2=0は成り立たない. \\[.2zh] それゆえ,\ \maru1-\maru2から導かれたものが元の\maru1と\maru2を満たすかの確認を要するのである. \\[1zh] 注意点はこれだけに留まらない.\ 問題によっては単に共通解というだけでなく,\ 他の条件も付属する. \\[.2zh] 「\dot{た}\dot{だ}\dot{1}\dot{つ}\dot{の}共通解」「\dot{少}\dot{な}\dot{く}\dot{と}\dot{も}\dot{1}\dot{つ}\dot{の}共通解」「共通の\dot{実}\dot{数}解」(数\text{I\hspace{-.1em}I}では虚数解が登場)などである. \\[.2zh] この場合,\ \maru1-\maru2から導かれたものが\maru1と\maru2を満たすかの確認だけでは不十分である. \\[.2zh] \maru1や\maru2の条件は,\ 共通解の個数や種類までは反映されていないからである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{最後に2つの2次方程式の解を実際に求めて問題の条件を満たすか確認する}ことになる. \\[1zh] 連立方程式の大原則に\bm{1文字消去}があった.\ その観点でいくと別解になる. \\[.2zh] ただし,\ 共通解問題の一般的解法ではなく,\ 本問では因数定理(数\text{I\hspace{-.1em}I})も要するので概要に留めた.
\maru1が因数分解できることに気付けるかが問われる. \\[.2zh] 因数分解できれば,\ 解を具体的に求めることができる. \\[.2zh] 共通解を\,\alpha\,として連立するよりは簡単なので,\ \bm{最初に因数分解できるか否かを確認}すべきである. \\[.2zh] 後は\maru2がx=k,\ 2を解にもつ条件を立式する. \\[.2zh] 当然,\ \bm{解にもつということは,\ 代入して成り立つということ}である. \\[.2zh] 最後,\ 実際に解を求めて確認する.
まず,\ 因数分解を考える.\ xの2次式なので,\ 基本通り定数項を因数分解してたすき掛けをする. \\[.2zh] 2x^2-(3m-1)x+m(m-1)=0   x^2-(2m-5)x+(m-2)(m-3)=0 \\[.2zh] 因数分解して解を具体的に求めることができるので,\ その解が一致する条件を考える. \\[.2zh] まず,\ mとm-2,\ mとm-3が一致することはありえない. \\[.2zh] よって,\ 考えられる可能性は,\ \bunsuu{m-1}{2}\,とm-2,\ \bunsuu{m-1}{2}\,とm-3が一致する場合である. \\[.6zh] 等式を作るとすぐにmが求まり,\ そのmを\bunsuu{m-1}{2},\ m,\ m-2,\ m-3に代入して共通解も求まる.