検索用コード
2次関数\ y=ax^2+bx+c\ のグラフが下図のようになるとき,\ 次の値の符号を調べよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} \begin{tabular}{lll}
(1)\ \ $a$ & (2)\ \ $b$ & (3)\ \ $c$ \\[.8zh] (4)\ \ $b^2-4ac$      & (5)\ \ $a+b+c$      & (6)\ \ $a-b+c$ \\[.8zh] (7)\ \ $2a+b$ && \\
\2次関数のグラフと係数の符号
(1)\ \ $\textcolor{red}{下に凸}であるから \bm{a>0}$ \\
(2)\ \ $\textcolor{red}{軸が正}であるから -\bunsuu{b}{2a}>0  (1)よりa>0であるから \bm{b<0}$ \\[1zh] \betu\ \ $\textcolor{cyan}{y’=2ax+b}\ より,\ \textcolor{red}{x=0のときの接線の傾きがb}である.    \therefore\ \ \bm{b<0}$ \\  (3)\ \ $\textcolor{red}{y軸との交点のy座標が正}であるから  \bm{c>0}$ \\
(4)\ \ $\textcolor{red}{x軸と2点で交わる}から,\ \textcolor{cyan}{ax^2+bx+c=0の判別式D}=\bm{b^2-4ac>0}$ \\[1zh] \betu\ \ $\textcolor{red}{頂点のy座標が負}であるから -\bunsuu{b^2-4ac}{4a}<0$ \\[.6zh] \phantom{ (1)}\ \ (1)より$a>0$であるから  \ \ $\bm{b^2-4ac>0}$ \\
(5)\ \ $\textcolor{red}{x=1のときのy座標が負}であるから \hspace{1.2zw}\bm{a+b+c<0}$ \\  (6)\ \ $\textcolor{red}{x=-\,1のときのy座標が正}であるから \bm{a-b+c>0}$ \\
(7)\ \ $\textcolor{red}{軸>1}であるから -\bunsuu{b}{2a}>1   (1)よりa>0であるから \bm{2a+b<0}$ \\
\betu\ \ $\textcolor{cyan}{y’=2ax+b}$より,\ \textcolor{red}{$x=1$のときの接線の傾きが$2a+b$}である.  $\therefore\ \ \bm{2a+b<0}$ \\\\\\ \\ \end{minipage} \\\\ \hlineb \end{tabular} \begin{tabular}{Ip{14cm}I} \hlineb \\ \begin{minipage}{14cm}  \\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} (1)\ \ \bm{下に凸なら\ a>0,\ 上に凸なら\ a<0}\ である. \\[1zh] (2)\ \ 軸の位置に着目し,\ さらに(1)の結果を利用する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)\ \ }微分(数\text{I\hspace{-.1em}I})の知識を用いると,\ y軸との交点における接線の傾きとみて瞬殺できる(別解). \\[1zh] (3)\ \ x=0のときcより,\ cはy軸との交点のy座標である. \\[1zh] (4)\ \ b^2-4acが,\ 判別式Dの式であることはすぐに気付けるだろう. \\[.2zh] \phantom{(4)\ \ }\bm{x軸との交点が2個ならD>0,\ 1個ならD=0,\ 0個ならD<0}\ である. \\[.2zh] \phantom{(4)}\ \ 頂点のy座標から求めることもできる(別解).\ このとき,\ (1)の結果も必要になる. \\[.2zh] \phantom{(1)\ \ }a>0ならば,\ \bm{「D>0」と「頂点のy座標が負」が同値}なのは当然ではあるが,\ 盲点である. \\[1zh] (5),\ (6)\ \ f(x)=ax^2+bx+c\ とおくと,\ f(1),\ f(-\,1)\ である. \\[.2zh] \phantom{(5),\ (6)}\ \ よって,\ \bm{x=1,\ -\,1\ のときのy座標の正負}と一致する. \\[.2zh] \phantom{(5),\ (6)}\ \ 一般に,\ \bm{多項式の係数の和がx=1を代入して求まる}ことは覚えておきたい. \\[1zh] (7)\ \ a>0,\ b<0なので単純に判断することはできず,\ 軸に着目する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(7)}\ \ a>0なので,\ -\bunsuu{b}{2a}>1\ \Longleftrightarrow\ -\,b>2a\ となる(両辺に2a>0を掛けた). \\[.6zh] \phantom{(7)}\ \ もしa<0ならば,\ -\bunsuu{b}{2a}>1\ \Longleftrightarrow\ -\,b<2a\ となるので注意(両辺に2a<0を掛けた). \\[.6zh] \phantom{(7)}\ \ 微分(数\text{I\hspace{-.1em}I})の知識を用いると,\ x=1のときの接線の傾きとみて瞬殺できる(別解).