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関数$y=\bunsuu{x^2+2}{x^2-2x+3}$の値域を求めよ. \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 関数$y=\bunsuu{x^2+2}{x^2-2x+3}\ (x\geqq0)$の値域を求めよ.         [東北大・改] \\
関数の値域(実数解条件利用)実数解x=
グラフを描ければ値域(最大・最小)がわかるが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分が必要になる. \\[.2zh] 数\text{I}の範囲で求めるためには,\ 前ページと同様に\bm{逆像法}が必要になる. \\[.2zh] \bm{yがある実数値をとるか否かは,\ その実数yに対応する実数xが存在するか否かで決まる.} \\[.2zh] よって,\ \bm{実数xが存在するようなyの範囲が値域}である. \\[1zh] (1)\ \ 一般に,\ \underline{a\neqq0}\ のとき,\ ab=c\ \Longleftrightarrow\ b=\bunsuu ca \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ (分母)\neqq0ならば,\ 分母をはらっても同値である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 平方完成によって(分母)\neqq0を確認して分母をはらい,\ 整理するとxの方程式\maru1となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2次方程式の実数解条件はD\geqq0だが,\ y=1のときは2次方程式にならないので場合分けする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際に計算してみることで,\ 実数解をもつことが確認できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ [2]は,\ 前提であるy\neqq1との共通範囲にしなければならない. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ [1]のy=1と[2]の\bunsuu12\leqq y<1,\ 1<y\leqq2を合わせて最終的な答えとする. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 最大・最小をとるときのxの値が必要ならば,\ \maru1にyの値を代入して求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y=\bunsuu12のとき \maru1は\ -\bunsuu12x^2-x-\bunsuu12=0 → (x+1)^2=0 → x=-\,1 \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ y=2のとき\  \maru1は\ x^2-4x+4=0 → (x-2)^2=0 → x=2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ x=-\,1のとき最小値\,\bunsuu12,\ \ x=2のとき最大値2をとるとわかる. \\[1zh] (2)\ \ \bm{x\geqq0を満たす実数xが存在するようなyの範囲}が求める値域である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 解の存在範囲の問題(解の配置問題)に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{2次関数f(x)がx軸のx\geqq0の部分と共有点をもてばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 解の配置問題では,\ 判別式,\ 軸の位置,\ 区間の端におけるy座標の正負に着目するのであった. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ さて,\ 本問は\bm{yの値次第でf(x)が上に凸か下に凸かが変わる}ことに注意しなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y-1>0ならば下に凸,\ y-1<0ならば上に凸であり,\ この場合分けを考えることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 実際には場合分け後に他の条件を考慮すると,\ 場合分けが必要ないことに気付く. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ 上に凸であっても下に凸であっても,\ 軸が正か負かの場合分けが必要になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そして,\ (軸)<0\ (0<y<1)のとき,\ y-1<0なので自動的に上に凸が確定する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 区間の端x=0においてf(0)\geqq0であればよいとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ (軸)>0\ (y\leqq0,\ 1<y)のとき,\ 上に凸でも下に凸でもx軸と共有点をもてばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 上に凸か下に凸かによらず,\ D\geqq0が条件となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 軸が正か負かだけで場合分けすればよく,\ 上に凸と下に凸で場合分けする必要はない. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 条件\ (軸)<0,\ (軸)>0の変形は注意が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 安易に\ \bunsuu{y}{y-1}<0の両辺にy-1を掛けてy<0としてはならない. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 不等式は,\ 両辺に負数を掛けると不等号の向きが逆になるからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y-1>0\ (y>1)のとき,\ 両辺にy-1を掛けてy<0となるが,\ y>1との共通範囲はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y-1<0\ (y<1)のとき,\ 両辺にy-1を掛けてy>0となり,\ y<1より0<y<1となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 場合分けを避けるため,\ 両辺に(y-1)^2\,(>0)を掛けるというテクニックもよく使われる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{y}{y-1}\cdot(y-1)^2<0\cdot(y-1)^2 より y(y-1)<0    よって\ \ 0<y<1 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 同様に,\ \bunsuu{y}{y-1}\geqq0の両辺に(y-1)^2\,を掛けると y(y-1)\geqq0 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ y\leqq0,\ 1\leqq yとなるが,\ y\neqq1が前提なのでy\leqq0,\ 1<yとなる.