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$2次方程式\ ax^2-(a-1)x-a+1=0\ が,\ -\,1<x<1と3<x<4にそれぞれ1つの$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.$ \\
2次方程式の解の存在範囲 [\ $\bm{f(p)f(q)<0の利用}$\ ]}解の存在範囲問題なので,\ 図形的に考える. \\[.2zh] 2次の係数$a$の正負が不明なので,\ 条件を満たすグラフは, 次の2通りがある.
下に凸の場合と上に凸の場合をそれぞれ考えてもよいが面倒である. \\[.2zh] 実は,\ 凹凸に関係なく,\ $-\,1<x<1$に1つの解をもつ条件を1つの式で表す方法がある. \\[.2zh] $x=-\,1$のときの$y$座標$f(-\,1)$と$x=1$のときの$y$座標$f(1)$に着目する. \\[.2zh] \bm{「\,p<x<qに1つの解をもつ\,」を「\,f(p)f(q)<0\,」と言い換えられる}ことが肝である. \\[.2zh] p<x<qにただ1つの解をもつとき,\ 区間の端の一方のy座標が正で他方のy座標が負になる. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{「一方が正で他方が負」は「積が負」と言い換える}ことができ,\ 簡潔になるわけである. \\[1zh] 問題に\dot{2}\dot{次}方程式とあるから,\ a\neqq0が前提条件となる. \\[.2zh] f(p)f(q)<0を立式すると,\ 2次不等式に帰着する. \\[.2zh] 有り難いことに因数分解済みの式が得られ,\ 直ちに解を求めることができる. \\[.2zh] ただし,\ f(-\,1)f(1)=a(-\,a+2)<0\ を\ 0<a<2\ とするのは\bm{間違い}である. \\[.2zh] 不等号の向きだけ見て安易に判断すると,\ このような落とし穴にはまる. \\[.2zh] (x-\alpha)(x-\beta)<0\ \Longleftrightarrow\ \alpha<x<\beta\ が成り立つのは,\ 2次の係数が正のときである. \\[.2zh] a(-\,a+2)=-\,a^2+2aは2次の係数が負なので,\ 正にしてから解かなければならない. \\[.2zh] つまり,\ a(-\,a+2)<0\ \Longleftrightarrow\ a(a-2)>0\ \Longleftrightarrow\ a<0,\ 2<a\ となる. \\[.2zh] 最初から因数分解された形である2次不等式の場合,\ 2次の係数の正負に特に注意が必要である.
さて,\ 本問は「\,$p<x<q$に1つの解をもつ\,」を「\,$f(p)f(q)<0$\,」と言い換えて解いた. \\[.2zh] 実は,\ \textbf{\textcolor{Purple}{この言い換えは常に正しいわけではない.}} \\[.2zh] 本問においてこの言い換えが正しかったのは,\ 次の2点が確定していたからである. \\[.5zh] [1]\ \ 2つの異なる交点をもつ.\ つまり,\ 接する可能性はない. \\[.2zh] [2]\ \ 離れた2つの範囲にただ1つずつ解をもつ. \\[.5zh] 単純に$f(p)f(q)<0$と言い換えることができない具体例は,\ 次の項で扱う.