群馬大学の問題の[2]で-3<a<-1となっていますが、-3<a<1の誤りですm(_ _)m

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方程式$x^2-ax+a^2-3a=0$が次の条件を満たすとき,\ 定数$a$の値の範囲を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 正の実数解と負の実数解をもつ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 異なる2つの正の実数解をもつ. $ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ 2より大きい実数解と2より小さい実数解をもつ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 2より小さい異なる2つの実数解をもつ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (5)\ \ 絶対値が1より小さい異なる2つの実数解をもつ.$ \\
2次方程式の解の存在範囲(基本)}}}} \
\textbf{\textcolor{blue}{解の配置問題}}とも呼ばれ,\ \textbf{\textcolor{magenta}{グラフを用いて図形的に考える.}} \\[.2zh] 2次方程式の実数解は,\ 図形的には$x$軸との交点の$x$座標である. \\[.2zh] グラフを図示し,\ 次の3つがどうあるべきかを考えるのが基本である. \\[.5zh] \centerline{$[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{判別式}}   $[2]$\ \ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{軸の位置}}   $[3]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{区間の端におけるy座標の正負}}$} \\\\
図形的には,\ \bm{「f(x)がx軸の正の部分および負の部分と交わる」}を意味する. \\[.2zh] x軸と異なる2個の交点をもつ(実数解2個である)から,\ 判別式はD>0でなければならない. \\[.2zh] 軸には,\ 特別に制限はない(どこでもよい). \\[.2zh] 正と負の実数解はx>0とx<0ということなので,\ 区間の端x=0でのy座標の正負を考える. \\[.2zh] 正と負の実数解をもつためには,\ \bm{x=0のときのy座標が負}でなければならない. \\[.2zh] よって,\ \bm{D>0\ かつ\ f(0)<0}が条件となる. \\[.2zh] ただし,\ x=0のときのy座標が負(f(0)<0)でさえあれば,\ 自動的にx軸と2点で交わる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{条件D>0はなくてもよく,\ f(0)<0のみで済む.}
図形的には,\ \bm{「f(x)がx軸の正の部分と異なる2点で交わる」}を意味する. \\[.2zh] 異なる2つの実数解を持つので,\ \bm{判別式D>0}\ でなければならない. \\[.2zh] a^2-4a<0\ \Longleftrightarrow\ a(a-4)<0\ \Longleftrightarrow\ 0<a<4 \\[.2zh] \bm{軸は正}でなければならない.\ 平方完成を途中まで行うと\left(x-\bunsuu a2\right)^2+\cdots\ より,\ 軸はx=\bunsuu a2\ である. \\[.6zh] 正の実数解であるから,\ 区間の端はx=0である.\ \bm{x=0のときのy座標が正}でなければならない. \\[.2zh]  a^2-3a>0\ \Longleftrightarrow\ a(a-3)>0\ \Longleftrightarrow\ a<0,\ 30\ かつ\ 軸>0であっても,\ f(0)\leqq0だと条件を満たさない(左図). \\[.2zh] 軸>0\ かつ\ f(0)>0であっても,\ D\leqq0だと条件を満たさない(中図). \\[.2zh] D>0\ かつ\ f(0)>0であっても,\ 軸\leqq0だと条件を満たさない(右図).
区間の端が0から2に変わっただけで,\ (1)と本質的に同じである. \\[.2zh] \bm{x=2のときのy座標が負}でさえあれば,\ 確実に問題の条件を満たす.
区間の端が0から2に変わり,\ 解の位置が左側になった以外は,\ (2)と本質的に同じである.
「絶対値が1より小さい」を式で表すと\ \zettaiti x<1,\ つまり\bm{-\,1<x<1}ということである. \\[.2zh] 区間の端が2つあるので,\ f(-\,1)とf(1)の正負をそれぞれ考慮しなければならない. \\[.2zh] 結局,\ D>0,\ -\,1<軸<1,\ f(-\,1)>0,\ f(1)>0の4条件が必要になる. \\[.2zh] a^2-2a+1>0\ \Longleftrightarrow\ (a-1)^2>0\ \Longleftrightarrow\ a\neqq1 \\[.2zh] y=(a-1)^2\,はa軸とa=1で接するから,\ (a-1)^2>0を満たすのは1以外のすべての実数である.
放物線$y=x^2+ax+2$が,\ 2点A$(0,\ 1)$,\ B$(2,\ 3)$を結ぶ線分(端点を含む)と異なる \\[.2zh] \hspace{.5zw}2点で交わるときの$a$の値の範囲を求めよ.              [群馬大] \\
2点A,\ Bを通る直線の方程式は $y=x+1$ \\[.2zh] 連立すると $x^2+ax+2=x+1 より \textcolor{magenta}{x^2+(a-1)x+1=0}$ \\[.2zh] この2次方程式の判別式を$D$とし,\ $f(x)=x^2+(a-1)x+1$とおく. \\[.2zh] 求める条件は,\ \textcolor{blue}{$y=f(x)$が$x$軸の$0\leqq x\leqq2$の部分と異なる2点で交わる}ことに等しい.
以下のように言い換えていくと,\ 前問(5)と同様の解の存在範囲の問題に帰着する. \\[.2zh] \ 「y=x^2+ax+2が線分\text{AB}と異なる2点で交わる」 \\[.2zh] ⇔\ 「y=x^2+ax+2が直線y=x+1の0\leqq x\leqq2の部分と異なる2点で交わる」 \\[.2zh] ⇔\ 「x^2+(a-1)x+1=0が0\leqq x\leqq2に異なる2個の実数解をもつ」 \\[.2zh] ⇔\ 「y=x^2+(a-1)x+1がy=0\,(x軸)の0\leqq x\leqq2の部分と異なる2点で交わる」 \\[.2zh] 本問は,\ 0<x<2ではなく0\leqq x\leqq2なので,\ f(0)=0とf(2)=0を含むことに注意する. \\[.2zh] 一方で,\ (軸)=0,\ 2のときは0\leqq x\leqq2の異なる2点で交わることはないので条件を満たさない.
$不等式x^2+2ax+1\leqq0\ \cdots\maru1,\ 2x^2+7x-4\leqq0\cdots\maru2について,\ 不等式\maru1の解が常に$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$存在するとする.\ このとき,\ 不等式\maru1を満たすxがすべて不等式\maru2を満たすようなaの$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$値の範囲を求めよ.                           [東洋大]$ \\
求める条件は,\ $\textcolor{blue}{y=f(x)がx軸の-4\leqq x\leqq\bunsuu12\,の部分と共有点をもつ}$ことに等しい. \
「\maru1の解が\maru2の解に完全に含まれるようなaの値の範囲を求めよ」ということである. \\[.2zh] \maru2は普通に解けるが,\ \maru1は因数分解できず,\ 解けないところに困難がある. \\[.2zh] 数式で考えることが難しいならば,\ \bm{グラフを用いて図形的に考える.} \\[.2zh] x^2+2ax+1\leqq0の解は,\ y=x^2+2ax+1とx軸の2つの交点の間(端点含む)である. \\[.2zh] この2つの交点が-4\leqq x\leqq\bunsuu12\ にあるならば,\ \maru1の解も\maru2の解に完全に含まれることになる. \\[.6zh] 結局,\ 解の存在範囲の問題に帰着する.\ 「\maru1の解が常に存在する」より,\ D\geqq0である. \\[.2zh] D<0,\ つまりf(x)がx軸と交わらないとき,\ 不等式\maru1の解は存在しなくなる. \\[.2zh] D=0\,(接する)ときは解が1点になるが,\ この場合も条件を満たすことに注意してほしい. \\[.2zh] そこで,\ x軸と「2点で交わる」ではなく,\ 「共有点をもつ」としているわけである. \\[.2zh] 軸の条件に等号が含まれる点にも注意が必要である. \\[.2zh] 軸が区間の端の-4,\ \bunsuu12\,であっても,\ [1],\ [3],\ [4]\,の条件が加われば問題の条件を満たす. \\[.6zh] 例えば軸が-4のときに[1],\ [3],\ [4]の条件が加わると,\ 図形的にはx=-\,4で接するグラフとなる. \\[.2zh] よって,\ \maru1の解はx=-\,4となり,\ これは\maru2を満たす.