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次の条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 0\leqq x\leqq2\ のすべてのxの値に対して,\ x^2-2ax+a-3<0\ が成立する.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 0\leqq x\leqq2\ のすべてのxの値に対して,\ x^2-2ax+5a-4>0\ が成立する.$ \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{ある区間で常に成り立つ2次不等式}}}} \\

2次不等式なので,\ \textbf{\textcolor{red}{グラフを用いて図形的に考える.}} \\[.2zh] 「すべての実数$x$に対して成立する」条件は,\ 判別式$D$で簡潔に表すことができた. \\[.2zh] 図形的には単に「$x$軸と交わらない」ということだからである. \\[.2zh] しかし,\ 「ある区間の$x$に対して成立する」条件は,\ そこまで単純にはいかない. \\[.2zh] 結局,\ \textbf{\textcolor{red}{区間内の最大・最小の条件に言い換えて考える}}ことになる. \\[1zh] ある区間で常にf(x)>0}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \textcolor{red}{[その区間内のf(x)の最\dot{小}値]>0} \\[.2zh] \textcolor{cyan}{ある区間で常にf(x)<0}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \textcolor{red}{[その区間内のf(x)の最\dot{大}値]<0}
f(x)が0\leqq x\leqq2で常にx軸の下側にある条件は,\ \bm{[0\leqq x\leqq2\ における最大値]<0}\ である. \\[.2zh] 下に凸であることを考慮すると,\ f(x)\ (0\leqq x\leqq2)はx=0またはx=2で最大をとる. \\[.2zh] \bm{f(0)<0\ かつ\ f(2)<0}とすることでf(0)とf(2)の大小の考慮を避けるのがポイントである. \\[.2zh] 図形的には,\ \bm{区間の両端におけるy座標が負}であれば,\ 確実に条件を満たすことになる.
f(x)が0\leqq x\leqq2で常にx軸の上側にある条件は,\ \bm{[0\leqq x\leqq2における最小値]>0}である. \\[.2zh] 一般に,\ 2次関数は区間の端または軸において最小をとる. \\[.2zh] しかし,\ (1)のように,\ 「f(0)>0\ かつ\ f(a)>0\ かつ\ f(2)>0\,」で済ませることはできない. \\[.2zh] \bm{0\leqq x\leqq2以外の区間では負になってもかまわない}からである. \\[.2zh] 結局,\ 軸と0\leqq x\leqq2の位置関係によって最小をとる位置が変わるので,\ 場合分けが必要になる. \\[.2zh] すなわち,\ \bm{関数変化型の最大・最小問題}に帰着する. \\[.2zh] 軸x=aが区間0\leqq x\leqq2の左側にあるとき(a<0),\ x=0で最小をとる. \\[.2zh] 軸x=aが区間0\leqq x\leqq2の内側にあるとき(0\leqq a\leqq2),\ 軸x=aで最小をとる. \\[.2zh] 軸x=aが区間0\leqq x\leqq2の右側にあるとき(2<a),\ x=2で最小をとる. \\[.2zh] 例によって,\ \bm{最小の前提条件である場合分けの条件との共通範囲をとる}のを忘れてはならない. \\[.2zh] 各場合ごとの結果を合わせて最終的な答えとする.