チェバの定理の構図だが,\ 3辺AB,\ BC,\ CA}のうち2辺の線分比が不明なので適用する意味がない.
そこで,\ メネラウスの定理が適用できる三角形と1直線を探す.
与えられている線分比はAR:RB,\ CO:OR,\ 求める線分比は\ CQ:QA}である.
よって,\ △ACR}を直線BQ}が分割しているとみなしてメネラウスの定理を適用}するとよい.
このとき,\ 点R}が頂点,\ 点B}は外分点の扱いになることに注意する.
メネラウスの定理でCQ:QA}が求まれば,\ チェバの定理でBP:PC}を求められる.
どの三角形に着目して定理を適用するかが重要}というわけである.
△BRC}を直線AP}が分割するとみなす}と先にBP:PC}\ を求めることができる.
その後,\ チェバの定理で\ CQ:QA}\ を求めればよい.
BO:OQ,\ AP:PO}は,\ メネラウスの定理で求められる.
BP:PCは,\ BO:OQが既知ならば,\ メネラウスの定理で求めることができる.}
しかし,\ 実は,\ チェバの定理で一発である.\ 元々,\ 本問はチェバの定理の第2の構図}である.
チェバの定理は,\,3直線AP,\ BQ,\ CR}の交点O}が三角形の外部にある場合も成り立つ}のであった.
右図のように\ △PQR}\ の周りを3つの三角形に分割する}方法が簡潔である.
まず,\ △ ABE}を直線CD}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用し,\ ER:RA}を求める.
三角形の面積比を求めるときは全体または小さいかけらをSとおくとわかりやすい.
本問では\,△ABC}が基準となるので全体をSとした.
『底辺が同じなら高さの比,\ 高さが同じなら底辺の比』を利用すると\ △ARC}の面積をSで表せる.
