内心は3辺からの距離が等しい点である(点と直線の距離の公式の利用). 正領域・負領域の考え方を利用して,\ 絶対値をはずす.}
内心$(a,\ b)$は,\ ①の正領域,\ ②の負領域,\ ③の正領域にある.
内心の座標は,\ 角の二等分線の交点として求めることもできるが,\ 回りくどくなる.
正領域・負領域の考え方を利用する解法を習得してほしい.
まず,\ 三角形を作る3直線の方程式を求める.
点と直線の距離の公式の利用を見越し,\ 3直線は一般形で表しておく.}
認知度は低いが,\ 2点の座標から直接的に一般形の直線の方程式を求める公式}を使うのもよい.
2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 (y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0}
中心を文字でおいて点と直線の距離の公式を利用し,\ 3直線までの距離が等しい条件を立式する.}
点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離の公式 ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
こうして表れる分子の絶対値を正領域・負領域の考え方}ではずすのが本問最大のポイントである.
平面が直線f(x,\ y)=0で2分割されるとき,\
点と直線の距離の公式より,\ 絶対値の中身はf(x,\ y)に中心(a,\ b)を代入したものとなる.
よって,\ 中心(a,\ b)が各直線の正領域・負領域のどちら側にあるかで絶対値の中身の符号がわかる.}
中心(a,\ b)は,\ 直線AB}\,(①)の正領域・負領域のどちら側にあるだろうか.
これは,\ 直線①に関して中心(a,\ b)と同じ側にある適当な1点を代入して確認}できる.
例えば,\ 中心(a,\ b)と同じ側にある点C}(21,\ 0)を4x-3yに代入してみる.
\ 中心(a,\ b)は直線①の正領域側にある}とわかる.
同様に,\ 点A}(0,\ 0)は,\ 直線BC}(②)に関して中心(a,\ b)と同じ側にある.
中心(a,\ b)は直線②の負領域側にある.}
よって,\ 8a+15b-168}=-\,8a-15b+168\ と絶対値をはずすことができる.
また,\ b>0は図形的に明らかである.
元々,\ 中心(a,\ b)と直線y=0の距離は,\ 公式を使うまでもなく中心のy座標bに等しい.
絶対値さえはずせば,\ 後は単なる連立方程式である.
