複素数平面上の点$z$が中心2,\ 半径1の円上を動くとき,\ 複素数$w=(1+i)z-i$によっ て表される点$w$が描く図形を答えよ. {変換${w=α z+β}$による像 点$z$が中心2,\ 半径1の円上を動くから {中心2+i,\ 半径2の円}$} 数学的には{すべての図形は点の集合}であるから,\ {図形の移動(変換)は点の移動に帰着}する. 今,\ 次の2点が既知である. 変換前の点zがz-2}=1を満たす. 変換前の点zと変換後の点wの関係がw=(1+i)z-iで表される. 目標は,\ {未知の変換後の点wが満たす式}を求めることである. そのためには,\ {をw=にしてに代入し,\ zを消去すればよい}というわけである. 積や商の絶対値は分割できる. {変換w=α z+β\ の図形的な意味}を理解しておくことも重要である. α=r({θ})\ とすると w=r({θ})z+β zに{θ}を掛けることは,\ 図形的には{原点を中心としてθ回転移動}することに相当する. rを掛けることは,\ 図形的には{原点を中心としてr倍拡大(縮小)}することに相当する. βを足すことは,\ 図形的には{β平行移動}することに相当する. 変換w=α z+βは,\ {回転移動,\ 拡大・縮小,\ 平行移動の合成変換}というわけである. 以上を踏まえ,\ 本問を図形的に考える.まず,\ w=2(π}{4)z-iと変形できる. よって,\ 中心2,\ 半径1の円を以下のように移していくと点wが描く図形となる. 原点を中心として{π}{4}回転移動 & 中心2+2i,\ 半径1の円に移る. 原点を中心とする2倍の拡大 & 中心2+2i,\ 半径2の円に移る. 虚軸方向に-1平行移動 & 中心2+i,\ 半径2の円に移る.
