複素数平面上の異なる3点${A(α),\ B(β),\ C(γ)}$を頂点とする$$ABCの内心Iを表す 複素数を$z$とする.\ $z={γ-β}α+α-γ}β+β-α}γ}{γ-β}+α-γ}+β-α$となることを示せ. 三角形の内心を表す複素数 問題のzは一見複雑に思えるが,\ β-α}=c等を考慮すると要はz={aα+bβ+cγ}{a+b+c}\ である. α,\ β,\ γだけで表現していってもよいが,\ 一旦a,\ b,\ cと設定すると簡潔な記述になる. z={aα+bβ+cγ}{a+b+c}\ は,\ 内心の位置ベクトル\ $OI}={aa+bb+cc}{a+b+c}$\ と同じ形である. それゆえ求め方も全く同じで,\ 内心が{内角の二等分線の交点}であることを利用する. {内角の二等分線ときたら辺の比の関係}であった.\ まず,\ ∠ Aの二等分線に着目する. 線分の内分点を表す複素数の公式を適用して,\ 点 Dを表す複素数が求められる. 2点{A(α),\ B(β)}を結ぶ線分をm:nに内分する点 {nα+mβ}{m+n} さらに,\ ∠ Bの二等分線に着目すると,\ I(z)が線分AD}をc:{ac}{c+b}に内分する点として求められる. Dは長さaの辺BC}をc:bに内分する点であるから,\ BD}の長さは\ a{c}{c+b}\ である.
