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2つの円が接線に対して同じ側にあるとき,\ その接線を\bm{共通外接線}という. \\[.2zh] 2つの円が接線に対して逆の側にあるとき,\ その接線を\bm{共通内接線}という. \\[.2zh] また,\ 2つの円の接点の間の距離を\bm{共通接線の長さ}という. \\[1zh] 共通接線の長さを求めるとき,\ \bm{直角三角形ができるように補助線を引いて三平方の定理を利用}する. \\[.2zh] 共通外接線の場合は垂線を下ろすだけで直角三角形ができる. \\[.2zh] \bm{四角形\mathRM{ABHO}は長方形}であるから,\ \mathRM{OH}の長さを求めることに帰着する. \\[.2zh] 共通内接線の場合はやや特殊な\bm{補助線\mathRM{OHD}を引く}と直角三角形ができる. \\[.2zh] \bm{四角形\mathRM{CDHO}は長方形}であるから,\ \mathRM{OH}の長さを求めることに帰着する.
下図の円Oの半径は2,\ 円O$’$の半径は4,\ 2つの円の中心間の距離は10である. \\[.2zh] \hspace{.5zw}線分AB,\ CD,\ ECの長さを求めよ.
共通接線の長さ\mathRM{AB,\ CD}は直角三角形を作成して三平方の定理を用いればよい. \\[1zh] \mathRM{EC}をどのように求めるかが問題である. \\[.2zh] \bm{『円の外部の点から円に引いた2本の接線の長さは等しい』}ことが肝になる. \\[.2zh] つまり,\ \mathRM{\bm{EA=EC\ および\ EB=ED}}が成立するのでこの2式を連立すればよい. \\[.2zh] ただし,\ 普通に連立しようとしてもわかりづらいので,\ 2式のうち一方をxとして他方を表すとよい.
下図の円O$”$の半径を$R$とするとき,\ $\bunsuu{1}{\ruizyoukon R}=\bunsuu{1}{\ruizyoukon{r_1}}+\bunsuu{1}{\ruizyoukon{r_2}}$が成り立つことを示せ.
下図のように点O,\ O$”$から下ろした垂線の足をH,\ I,\ Jとする. \\[1zh] 2円とその共通接線の構図では,\ とにかく\bm{垂線を下ろして直角三角形を作成する}のが重要である. \\[.2zh] 本問では3つ目の円も含めると3つの直角三角形を作成できる. \\[.2zh] それぞれ三平方の定理を適用すると,\ 円\mathRM{Oと円O’}の共通外接線の長さが2通りに表される. \\[.2zh] 等号で結んだ後整理すると,\ 半径\ r_1,\ r_2,\ R\ の美しい関係が導かれる.