ceva-menelaus

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数式を丸暗記しても意味はない.\ 実際,\ 式自体はチェバもメネラウスも同じである. \\[.2zh] 図形的に理解しよう.\ まず,\ チェバは1点,\ メネラウスは1直線で三角形が分割される構図である. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\textcolor{cyan}{頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点}の順で1周}する. \\[.2zh] 上では頂点\mathRM{A}から出発したが,\ どの頂点から出発するかは自由である. \\[.2zh] メネラウスの定理の図では,\ \bm{頂点\mathRM{Bの次は外分点P,\ その次は頂点C}}である. \\[.2zh] %\mathRM{AR\times BP\times CQ=RB\times PC\times QA}とみることもできる. \\[.2zh] %つまり,\ 1つ飛ばしに比を掛けたものが等しいわけである. \\
チェバはわかりやすいが,\ メネラウスの定理の適用は慣れを要する. \\[.2zh] メネラウスの定理は右図のキツネに適用すると考えておくとよい.
一見するとチェバの定理の構図だが,\ 与えられた比だけでは適用する意味がない. \\[.2zh] そこでメネラウスの定理が適用できる三角形を探す. \\[.2zh] 与えられているのは\mathRM{AR:RB,\ CO:OR,\ 求めるのは\ CQ:QA}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{\triangle\mathRM{ACR}を直線\mathRM{BQ}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用}するとよい. \\[.2zh] このとき,\ 点\mathRM{R}が頂点,\ 点\mathRM{B}は外分点の扱いになることに注意する. \\[.2zh] メネラウスの定理で\mathRM{CQ:QA}が求まれば,\ チェバの定理で\mathRM{BP:PC}を求められる. \\[.2zh] このように,\ \bm{どの三角形に着目して定理を適用するかが問われる}わけである.
\bm{\triangle\mathRM{BRC}を直線\mathRM{AP}が分割するとみなす}と先に\mathRM{BP:PC}\ を求めることができる. \\[.2zh] その後,\ チェバの定理で\ \mathRM{CQ:QA}\ を求めればよい.
右図のように\ \bm{\triangle\mathRM{PQR}\ の周りを3つの三角形に分割する}方法が簡潔である. \\[.2zh] まず,\ \triangle \mathRM{ABE}を直線\mathRM{CD}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用し,\ \mathRM{ER:RA}を求める. \\[.2zh] 三角形の面積比を求めるときは全体または小さいかけらをSとおくとわかりやすい. \\[.2zh] 本問では\,\triangle\mathRM{ABC}が基準となるので全体をSとした. \\[.2zh] 『底辺が同じなら高さの比,\ 高さが同じなら底辺の比』を利用すると\ \triangle\mathRM{ARC}の面積をSで表せる. \\[.4zh] \mathRM{\triangle ARC=\bunsuu67\triangle AEC=\bunsuu67\cdot\bunsuu13\triangle ABC=\bunsuu27\triangle ABC}=\bunsuu27S\ としてもよい. \\[.8zh] 与えられた比を考慮すると,\ \mathRM{\triangle APBと\triangle BQCも結局}\ \bunsuu27S\ であり,\ \triangle\mathRM{PQR}\ が求められる.