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複素数$z$が$\zettaiti{z-1-\ruizyoukon3\,i}=\ruizyoukon2$上を動くとき,\ $z$の絶対値$\zettaiti z$と偏角$\theta$の範囲をそれ \\[.2zh] 円周上を動く複素数の絶対値と偏角の範囲}}}} \\\\[.5zh] $z$は, {中心$1+\ruizyoukon3\,i$,\ 半径$\ruizyoukon2$の円上}を動く. \\[1zh] 左下図より,\ $\zettaiti z$の範囲は
右下図より,\ 偏角$\theta$の範囲は
\zettaiti{z-\alpha}=r\ は,\ 中心\,\alpha,\ 半径rの方程式である. \\[.2zh] \zettaiti z\,や\,\theta\,の範囲が問われた場合,\ \bm{図形的に求める}と簡潔に済むことが多い. \\[1zh] \zettaiti z\,は,\ 図形的には\bm{原点からの距離}である. \\[.2zh] よって,\ \zettaiti z\,の範囲を求めることは,\ 原点から最も近い点と遠い点までの距離を求めることである. \\[.2zh] \bm{円外の点から円上の点までの距離は,\ 円の中心を通る直線と円との2交点までが最短と最長となる.} \\[.2zh] \mathRM{つまり,\ 左図のOAが\,\zettaiti z\,の最小,\ OBが\,\zettaiti z\,の最大である.} \\[.2zh] \mathRM{OC=2}から半径\ruizyoukon2\,を引くと\mathRM{OA},\ 足すと\mathRM{OB}が求まる. \\[1zh] \bm{原点から円に2本の接線を引いたときが,\ 偏角の最小・最大}である. \\[.2zh] \mathRM{Cの偏角は\,\bunsuu{\pi}{3},\ \triangle OCDはOC=2,\ CD=\ruizyoukon2}\,の直角三角形なので,\ \mathRM{\angle COD=\bunsuu{\pi}{4}}\,である. \\[.8zh] \mathRM{\triangle OCDと\triangle OCE}が合同であることも考慮して,\ 偏角\,\theta\,の範囲が求められる.