本項目は極限分野の知識を要します。

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z_1=1,\ \ z_{n+1}=\bunsuu{1+\ruizyoukon3\,i}{2}z_n+1$によって定められる複素数列$\{z_n\}$の各項は複素数 \\[.8zh] \hspace{.5zw}平面上のある円の上にある.\ この円の中心と半径を求めよ. \\
特殊解型漸化式で定まる複素数列}}}} \\\\[.5zh] 本問の漸化式は,\ 特殊解型漸化式\ a_{n+1}=pa_n+q\ である.\ 解法を再確認しよう. \\[.2zh] a_{n+1}=a_n=\alpha\ とした特性方程式\ \alpha=p\alpha+q\ を解くと,\ 特殊解\ \alpha=\bunsuu{q}{1-p}\ が求まる. \\[.8zh] 元の式からa_{n+1}\,とa_n\,に\,\alpha\,を代入した式を引くと,\ 等比数列型漸化式a_{n+1}=ra_n\ に帰着する. \\[.5zh] \end{array}   等比数列の一般項\ a_n=a_1r^{n-1} \\\\
複素数平面における中心\,\alpha,\ 半径rの円の方程式は\ \zettaiti{z-\alpha}=r\ であり,\ この形を目指して変形する. \\[.2zh] 本問の場合,\ z_n-\alpha\,が等比数列をなすとして一般項を求めた後,\ \bm{両辺の絶対値をとる}ことになる. \\[.2zh] 一般に\,\zettaiti{ab}=\zettaiti a\zettaiti b\,である.\ もちろん,\ z=a+b\,iのとき\,\zettaiti z=\ruizyoukon{a^2+b^2}\ である. \\[1zh] 本問の漸化式を変形すると,\ z_{n+1}=\left(\polar{\bunsuu{\pi}{3}}\right)z_n+1となる. \\[.8zh] \bm{z_n\,を原点を中心として\,\bunsuu{\pi}{3}\,回転移動し,\ 実軸方向に1平行移動したのがz_{n+1}}\ ということである. \\[.8zh] z_n\,を具体的に求め,\ 一番最後に図示しておいた. \\[.2zh] z_1=1,\ \ z_{n+1}=\bunsuu{1+\ruizyoukon3\,i}{4}z_n+1$によって定められる複素数列$\{z_n\}$の実部を$x_n$,\ \\[.5zh] \hspace{.5zw}虚部を$y_n$とする.\ $\dlim{n\to\infty}x_n,\ \ \dlim{n\to\infty}y_n$を求めよ. 4}$の等比数列である. \\[1zh] $\dlim{n\to\infty}\bunsuu{1}{2^{n-1}}=0$であるから,\ はさみうちの原理より 
z_n\,は,\ \bm{極形式にした後ド・モアブルの定理\ (\polar{\theta})^n=\polar{n\theta}\ を適用}する. \\[.2zh] 実部と虚部が分離できるので,\ 整理するとx_n,\ y_n\,が求まる. \\[.2zh] この極限は,\ はさみうちの原理を利用して求められる.\ \dlim{n\to\infty}z_n=1+\bunsuu{\ruizyoukon3}{3}\,i=\alpha\ がわかるのである.
z_n\,を原点を中心として\,\bunsuu{\pi}{3}\,の回転移動および\,\bunsuu12\,倍,\ 実軸方向に1平行移動したのがz_{n+1}\ である. \\\\
前問と本問をz_{n+1}=pz_n+q\ として一般化する. \\[.2zh] これは,\ z_n\,が中心\,\alpha,\ 半径\zettaiti{z_1-\alpha}\,の円周上にあることを意味する. \\[.2zh]