検索用コード
複素数平面における単位円上の異なる3点$\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}$を頂点とする$\triangle$ABCの \\[.2zh] \hspace{.5zw}垂心Hを表す複素数を$z$とする.\ $z=\alpha+\beta+\gamma$となることを示せ. \\
{三角形の垂心を表す複素数}}
垂心は,\ \bm{各頂点から対辺に下ろした垂線の交点}である. \\[.2zh] よって,\ 垂直条件を2つ立式することで垂心\text Hを求めることができる. \\[.2zh] \mathRM{AHとBC}が直角] \phantom{\mathRM{AHとBC}が直角}\ \}\ が純虚数 \\[.8zh] さらに,\ \bm{zが純虚数\ \Longleftrightarrow\ \kyouyaku z=-\,z\ かつ\ z\neqq0}\ を利用して垂直条件を立式する. \\[.2zh] 分母をはらった後,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\,が単位円上にある条件を,\ \kyouyaku\alpha,\ \kyouyaku\beta,\ \kyouyaku\gamma\,を消去する方向で反映させる. \\[.2zh] 整理するとzと\,\kyouyaku z\,の簡潔な式となる. \\[.2zh] 他方の垂直条件も導出過程は全く同じなので,\ \maru2の文字を変えれば済む. \\[.2zh] 連立して\,\kyouyaku z\,を消去するとzが求められる. \\[.2zh] \alpha-\beta\neqq0より,\ 両辺を割ることができる. \\[1zh] ところで,\ \triangle\text{ABC}の重心を\text G(w)とすると,\ w=\bunsuu{\alpha+\beta+\gamma}{3}\ となるのであった. \\[.6zh] よって,\ 原点から垂心z=\alpha+\beta+\gamma\,に向かって\,\bunsuu13\,のところに重心w=\bunsuu{\alpha+\beta+\gamma}{3}\ がある(右図). \\[.6zh] 原点は外心であるから,\ 三角形の垂心\text H・重心\text G・外心\text Oは一直線上にあるといえる. \\[.2zh] この直線を\bm{オイラー線}という.\ また,\ \bm{\mathRM{OG:GH}=1:2}であることもわかる.