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複素数平面上の異なる3点A($\alpha$),\ B($\beta$),\ C($\gamma$)が正三角形を作るとき,\ 次の等式が成り \\[.2zh] }{A($\alpha$)}} \end{pszahyou*}} \\\\   $\alpha\ を中心として\ \beta\ を\ \pm\bunsuu{\pi}{3}\ 回転移動した点が\ \gamma\ であるから$ \\[.2zh] 回転を表す複素数を利用する自然な解法である. \\[.2zh] 目的の式を目指してこの関係式から\bm{iを消去}する. \\[.2zh] そのためには,\ \bm{実部を左辺,\ 虚部を右辺に移項して両辺を2乗}すればよい. \\[.2zh] 虚部に\pm\,がついているから,\ z=\pm\,2i\ \Longleftrightarrow\ z^2=-\,4\ などと同様,\ 2乗しても同値である. \\[.2zh] 上の解答では省略したが,\ 次のように\bm{同値変形}できることは常識としておきたい. \\[.2zh]  $\triangle$ABCが正三角形であることは,\ Bが相似であることと同値}}である. \\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 正三角形となる条件を相似を利用して表現することができる. \\[.2zh] 相似条件には「\bm{2組の辺の比とその間の角が等しい}」を用いる. \\[.2zh] 上の解答では,\ \に着目して条件を立式した. \\[.2zh] は分数で表現する. \\[1zh] ここで,\ 「相似条件\maru1\ \Longrightarrow\ 正三角形」である理由を確認しておく.\ なお,\ 逆は明らか. \\[.2zh] さて,\ 相似条件を複素数の表現に変換する.\ 長さは差の絶対値で表現できる. \\[.2zh] 一方,\ 角度の条件は,\ \bm{複素数平面では角度に向きがある}ことに注意して表現しなければならない. \\[.2zh] \bekutoru{AB}\ から\ \bekutoru{AC}\ に回転した\ \angle\mathRM{BAC}\ と\ \bekutoru{CA}\ から\ \bekutoru{CB}\ に回転した\ \angle\mathRM{ACB}\ が等しいわけである. \\[.2zh] %三角形の形状決定では,\ 複素数\ \bunsuu{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\ から\ 絶対値と偏角の情報を取り出した. \\[.8zh] 後は,\ \bm{(絶対値と偏角が等しい)\ \Longleftrightarrow\ (複素数が等しい)}\ を利用することで簡潔な表現になる. \\[1zh] 以上のように,\ \bm{2つの三角形の相似条件は複素数の等式で簡潔に表現できる.} \\[.2zh] の回転が同じ向きのとき,\ \bm{「同じ向きに相似」}という. \\[.4zh] 一方,\ の回転が逆向きのとき,\ \bm{「逆向きに相似」}という.