検索用コード
結局,\ 複素数の積・商は,\ 次のように\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{拡大・縮小と回転の図形的意味}}をもつ. \\[.8zh] \centerline{ $\begin{cases} \bm{\textcolor{blue}{wを掛ける}} zは\bm{\textcolor{cyan}{原点からの距離がr倍}},\ \bm{\textcolor{red}{反時計回りに\ \alpha\ 回転}}した点に移動. \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{wで割る}}  zは\bm{\textcolor{cyan}{原点からの距離が\bunsuu1r倍}},\ \bm{\textcolor{red}{時計回りに\ \alpha\ 回転}}した点に移動. 当然,\ zwはwを原点からの距離1倍で反時計回りに60\Deg\,回転させた点と考えることもできる. \\[.2zh] 複素数は,\ \bm{自身が点を表すだけでなく,\ 相手を移動させることもできる}わけである. \\[.2zh] 例えば,\ 複素数\ \Cnum{1}+{\sqrt3}=2(\polar{60\Deg})\ は次のような役割を果たすことができる. \\[.5zh]  [1]\ \ 点(1,\ \ruizyoukon3\,)を表す. \\[.3zh]  [2]\ \ 他の複素数zに足して,\ zを(1,\ \ruizyoukon3\,)平行移動できる. \\[.3zh]  [3]\ \ 他の複素数zに掛けて,\ zを原点中心に2倍拡大して反時計回りに60\Deg 回転できる. \\[1zh] 特に,\ r=1の複素数は回転移動のみできる. \\[.2zh] また,\ \pm\,iは\pm90\Deg\,回転に対応する複素数である.\ \pm i=\polar{(\pm90\,\Deg)}\ だからである. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\\\ \hspace{.5zw}複素数平面上の点$\beta(\Cnum{5}+{3})$を,\ 点$\alpha(\Cnum{3}+{1})$を中心として反時計回りに$\bunsuu{\pi}{3}$回転移動し \\[.2zh] \hspace{.5zw}た点を表す複素数$z$を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{原点以外の点を中心とする回転移動}}}} \\\\[.5zh]   $\alpha$を中心として$\beta$を反時計回りに$\theta$回転移動させた点$\gamma$は \\[.5zh]   要するに,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{原点中心の回転移動になるように一旦平行移動して求める.}} \\[.5zh]     [1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\beta}$を$\bm{-\,\alpha}$平行移動する.}}\ $\beta$は$\beta-\alpha$に,\ $\alpha$は原点に移る. \\[.2zh]     [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\beta-\alpha}$を原点中心に反時計回りに$\bm{\theta}$回転移動する.}} \\[.2zh]     [3]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{+\,\alpha}$平行移動して元に戻す.}} \\[1zh]   以上の3段階をまとめると上の式になるわけである. \\   この方法により,\ あらゆる回転移動を自在に行えるようになる. \\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \beta-\alpha\,に\,\bunsuu{\pi}{3}\,の回転移動に対応する複素数を掛けた後,\ +\,\alpha\ すればよい. \hspace{.5zw}座標平面上に原点O,\ 点A(2,\ 3),\ 点Bがある.\ $\triangle$OABが直角二等辺三角形となるとき,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}点Bの座標を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[1zh]  点Bを表す複素数を$z$とする. \\[1zh] 本問に限らず,\ \bm{正三角形や正方形等の対称性の高い図形は,\ 複素数平面上の回転を利用}して扱える. \\[1zh] 本問は,\ \bm{どの角が直角になるかで場合分け}する必要がある. \\[.2zh] \angle\text{O}=90\Deg\,のときは原点を中心に\text{A}を90\Deg 回転した点が\text{B}である. \\[.2zh] よって,\ \polar{(\pm\,90\Deg)}=\pm\,iを掛けるだけで済む. \\[1zh] \angle\text{A}=90\Deg\,のとき,\ どの点を中心に回転するかで2つの解法が考えられる. \\[.2zh] \bm{直角となる角を中心に回転}する方法は計算が楽になることが多い. \\[.2zh] まず,\ (2,\ 3)が原点となるように(0,\ 0)を平行移動すると,\ 0-(\Cnum{2}+{3})\ である. \\[.2zh] これを90\Deg\,回転した後,\ \Cnum{2}+{3}\ を足して元に戻せばよい. \\[.2zh] \gamma=(\polar{\theta})(\beta-\alpha)+\alpha\ を公式として覚えておき,\ 単純に代入するのが結局は速い. \\[.2zh] \bm{原点を中心に回転}する方法はわかりやすい.\ 本問は計算も楽である. \\[.2zh] 点\text{A}を\bm{\pm\,45\Deg\,回転し,\ かつ原点からの距離を\,\ruizyoukon2\,倍}した点が\text{B}である. \\[.2zh] よって,\ これに対応する複素数\,\polar[\ruizyoukon2][\{]{(\pm\,45\Deg)}\ を掛ければよい. \\[1zh] \angle\text{B}=90\Deg\,のときも2つの解法を示した. \\[.2zh] 直角となる点\text{B}を中心に回転させたいわけだが,\ その点\text{B}がわからない. \\[.2zh] よって,\ 点\text{B}を表す複素数をzとして公式\ \gamma=(\polar{\theta})(\beta-\alpha)+\alpha\ にあてはめる. \\[.2zh] \bm{\text{\textbf{B}}を中心として\pm90\Deg\,回転すると原点が\text{\textbf{点A}}に移動する}と考えたわけである. \\[.2zh] 原点中心に考えるならば,\ \bm{距離は\,\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,倍,\ 角度は\,\pm45\Deg\,回転}である.