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方程式$\bm{z^n=\alpha\ (n:自然数)}$の解}}を\textbf{\textcolor{blue}{複素数$\bm{\alpha}$の$\bm{n}$乗根}}という. \\[.2zh]  ここで,\ 高校では実数のように$z=\ruizyoukon[n]{\alpha}$\ (\rei\ $\ruizyoukon[3]{\Cnum{1}+{\sqrt3}}$)などとすることは許されない. \\[.2zh]  そこで,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{$\bm{n}$乗に強い極形式を利用してこの方程式を解く}}ことになる. \\[.2zh]  実際には,\ \textbf{\textcolor{red}{両辺を極形式で表した後,\ 絶対値と偏角を比較}}する. \\\\   両辺の絶対値と偏角を比較すると \\[.2zh] 両辺を極形式で表す.\ z^6\,に対しては\bm{ド・モアブルの定理を適用}する. \\[.2zh] \bm{両辺の偏角を比較するとき,\ \pm\,2k\pi\,(k:整数)\ の自由度がある}ことに注意する. \\[.2zh] これを整数kを用いて表すと\ 6\theta=0+2k\pi=2k\pi\ となるわけである. \\[.2zh] 後は偏角の範囲を考慮するとz^6=1を満たすすべての複素数が求まる. \\[.2zh] 0\leqq\bunsuu{k\pi}{3}<2\pi\ より\ 0\leqq k\pi<6\pi\ であるから,\ k=0\,~\,5である. \\[.5zh] \bm{代数学の基本定理「n次方程式は複素数の範囲でn個の解をもつ」}より,\ この6つで全てである. \\[1zh] さて,\ \bm{\polar{\theta}\ は\,\theta\,回転を意味する複素数}であった. \\[.2zh] よって,\ (\polar{\theta})^6\,は\,\theta\,回転を6回繰り返すことを意味する. \\[.2zh] つまり,\ 本問を言い換えると\bm{「\theta\,回転を6回繰り返したときに偏角が0になる角\,\theta\,を求めよ」}である. \\[.2zh] 図形的には\bm{単位円を6等分した点}になっている. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{複素数のn乗根は複素数平面上の円をn等分した点になる}のである. \\[1zh] 本問は,\ 次のように因数分解すると複素数平面の知識がなくても解ける. \\[.2zh]   両辺の絶対値と偏角を比較すると \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{red}{r^4=16,\ \ 4\theta=\bunsuu23\pi+2k\pi\ (k:整数)}$ より $r=2\ (>0),\ 0\leqq\bunsuu{\pi}{6}+\bunsuu{k\pi}{2}<2\pi\ より\ -\bunsuu{\pi}{3}\leqq k\pi<\bunsuu{11}{3}\pi\ であるから,\ k=0\,~\,3\ である. \\[.8zh] 図形的には\bm{半径2の円周を4等分した点}である.