後半の問題は難度が高く優先度は低いので、初学者はスルー推奨である。

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複素数平面は原点中心の回転を成り立ちとしているから,\ 極座標との相性がよい. \\\\  偏角は,\ $0\leqq\theta<2\pi$の範囲でただ1通りに定まる. \\  一般には,\ $\bm{\textcolor{magenta}{\arg z=\theta+2n\pi\ \ (n:整数)}}$\ である. \\  ただし,\ $z=0$の偏角は任意の実数とする. \\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \arg は偏角(\text{argument})の略である. \\[.2zh] 範囲がなければ,\ 偏角60\Deg を420\Deg\ や-\,300\Deg\,ともみなせるから,\ 一般には+2n\pi\ が必要である. \\[1zh] また,\ 極形式では,\ \bm{必ずr>0で,\ iの前は必ず+}でなければならないことに注意する. \\[.2zh] よって,\ z=\polar[-\,2]{\theta}\ や\ z=\cos\theta-i\sin\theta\ は極形式とはいえない. \\[.2zh] このような場合,\ r>0,\ +\,iとなるように変形しなければならない. \hspace{.5zw}次の複素数を極形式で表せ.\ ただし,\ 偏角$\theta$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$とする. \\[1zh]  原点との距離$r$は,\ $\textcolor{cyan}{r=\ruizyoukon{a^2+b^2}}$で容易に求まる. \\[.2zh]  後は,\ $\textcolor{red}{\cos\theta=\bunsuu ar,\ \sin\theta=\bunsuu br}$\ を両方満たす偏角$\theta$を求める必要がある. \\[1zh] 偏角は複素数平面上に点を図示して考えるとよい. \\[.2zh] \bm{角の判断は三角関数の合成と同じ要領}なので,\ きちんと学習を積んできているならば容易である. \\[1zh] (4)は先に\bm{分母を実数化}する. \\[.2zh] \bunsuu{\Cnum{-\,7}-{1}}{\Cnum{4}-{3}}=\bunsuu{(\Cnum{-\,7}-{1})(\Cnum{4}+{3})}{(\Cnum{4}-{3})(\Cnum{4}+{3})}=\bunsuu{-\,28-21\,i-4\,i+3}{16+9}=\bunsuu{\Cnum{-\,25}-{25}}{25}=\Cnum{-\,1}-{1} \\[.8zh] 偏角の範囲に指定がなければ,\ \ruizyoukon2\left\{\cos\left(-\,\bunsuu34\pi\right)+\sin\left(-\,\bunsuu34\pi\right)\right\}\ などとも表せる. \\[1.5zh] 問題が「偏角を求めよ(範囲なし)」ならば,\ (1)\ \bm{\bunsuu{\pi}{6}+2n\pi\ (n:整数)}\ のように答える. \hspace{.5zw}次の複素数を極形式で表せ.\ ただし,\ 偏角$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$とする. (1)~(3)は一見すると極形式に見えるが,\ r(\cos\theta+i\sin\theta)\ の形ではないから極形式ではない. \\[.2zh] これを極形式に変形するわけだが,\ 三角関数の各種公式に対する習熟が必要で,\ 難易度は高い. \\[1zh] -\cos\alpha+i\,\sin\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ と変形しなければならない. \\[.2zh] さらに,\ \bm{\cos\theta=-\cos\alpha,\ \sin\theta=\sin\alpha}\ を満たす\ \theta\ を求めればよい. \\[.2zh] \bm{\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\ に気付ける位に公式に慣れていないと厳しい. \\[.2zh] (a,\ b)=(-\cos\alpha,\ \sin\alpha)\ を図示して角度\,\theta\,を考えることもできる. \\[.2zh] さて,\ \theta=\pi-\alpha\ がわかったからといって,\ \cos(\pi-\alpha)+i\sin(\pi-\alpha)\ で解答を終えてはいけない. \\[.2zh] \bm{偏角に範囲がある場合はそれを満たしているかを確認する}必要がある. \\[.2zh] 0\leqq\alpha<2\pi\ より\ -2\pi<-\,\alpha\leqq0\ であるから \bm{-\pi<\pi-\alpha\leqq\pi} \\[.2zh] 0\leqq\pi-\alpha\leqq\pi,\ つまり\ 0\leqq\alpha\leqq\pi\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしている. \\[.2zh] 一方,\ -\pi<\pi-\alpha<0,\ つまり\ \pi<\alpha<2\pi\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしていないから補正する. \\[.2zh] もし範囲がなかった場合,\ 偏角には\ +2n\pi\,(n:整数)の自由度がある. \\[.2zh] つまり,\ \cdots,\ -\,4\pi,\ -\,2\pi,\ 0,\ 2\pi,\ 4\pi,\ \cdots\ を足してもよいのである. \\[.2zh] これを利用する.\ -\pi<\pi-\alpha<0\ を偏角の範囲に入れるには,\ +\,2\pi\ (n=1)すればよい. \\[.2zh] \pi<(\pi-\alpha)+2\pi<2\pi\ となり,\ 偏角の範囲を満たす. \bm{\cos\left(\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,\ \sin\left(\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha}\ に気付かなければならない. \\[.5zh] (a,\ b)=(\sin\alpha,\ \cos\alpha)\ を図示して角度\,\theta\,を考えることもできる. \\[1zh] 0\leqq\alpha<2\pi\ より\ -2\pi<-\,\alpha\leqq0\ であるから \bm{-\bunsuu32\pi<\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\leqq\bunsuu{\pi}{2}} \\[.8zh] 0\leqq\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\leqq\bunsuu{\pi}{2},\ つまり\ 0\leqq\alpha\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしている. \\[.8zh] 一方,\ -\bunsuu32\pi<\bunsuu{\pi}{2}-\alpha<0,\ つまり\ \bunsuu{\pi}{2}<\alpha<2\pi\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしていない. \\[.8zh] +\,2\pi\ (n=1)によって\ \bunsuu{\pi}{2}<\left(\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\right)+2\pi<2\pi\ となり,\ 偏角の範囲を満たす. \end{array}}\right]$}} \\\\\\ \phantom{ (1)}\ \ ここで,\ $0<\alpha<2\pi$より$0<\bunsuu{\alpha}{2}<\pi$であるから  rを求めるとき,\ \bm{半角の公式\ \sin^2\bunsuu{\alpha}{2}=\bunsuu{1-\cos\alpha}{2}}\ を逆に適用して根号をはずす. \\[.8zh] \ruizyoukon{1-\cos\alpha}\,や\,\ruizyoukon{1+\cos\alpha}=2\,\zettaiti{\cos\bunsuu{\alpha}{2}}\,は半角の公式の逆で根号をはずせると知っておく必要がある. \\[.5zh] 本問では角の範囲を考慮すると絶対値もはずすことができる. \\[.2zh] さらに,\ \cos\theta\,を求めるとき,\ 再び半角の公式の逆で式を整理する. \\[.2zh] また,\ \sin\theta\,を求めるとき,\ \bm{2倍角の公式を用いて角を\,\bunsuu{\alpha}{2}\,に統一}する. \\[1zh] 実は,\ 次のように変形するのが簡潔である. \\[.2zh] 後は\,\bunsuu{\alpha}{2}\,になっただけで(2)と同じである. \\[.5zh] 0<\alpha<2\pi\ より\ -\pi<-\bunsuu{\alpha}{2}<0\ であるから \bm{-\bunsuu{\pi}{2}<\bunsuu{\pi}{2}-\bunsuu{\alpha}{2}<\bunsuu{\pi}{2}} \\[.8zh] 0\leqq\bunsuu{\pi}{2}-\bunsuu{\alpha}{2}<\bunsuu{\pi}{2},\ つまり\ 0<\alpha\leqq\pi\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしている. \\[.8zh] 一方,\ -\bunsuu{\pi}{2}<\bunsuu{\pi}{2}-\bunsuu{\alpha}{2}<0,\ つまり\ \pi<\alpha<2\pi\ のとき,\ 偏角の範囲を満たしていない. \\[.8zh] +\,2\pi\ (n=1)によって\ \bunsuu{3}{2}\pi<\left(\bunsuu{\pi}{2}-\bunsuu{\alpha}{2}\right)+2\pi<2\pi\ となり,\ 偏角の範囲を満たす.