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複素数$zが\zettaiti{z}=1$を満たす.\ $w=\bunsuu{2z+i}{\Cnum{z}-{2}}$とするとき,\ $w$はどんな図形を描くか. \\
{1次分数変換w=\bunsuu{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\ による像}$}}}} \\\\[.5zh] $w$は,\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{点-\bunsuu12\,と点2を1:2に内分する点\,\bunsuu13\,と外分する点-3を直径とする円を描く.}$ \\\\[.5zh] 他の変換と同様,\ \bm{z=(wの式)にして元の方程式に代入すると,\ wが満たす方程式が得られる.} \\[.2zh] このとき,\ w\neqq2を確認してから割る.\ \maru1にw=2を代入すると0=5iとなり,\ 不適である. \\[.2zh] 後は,\ どんな図形かがわかるまで変形する.\ 本問の場合,\ \bm{絶対値のまま処理する}のが簡潔である. \\[.2zh] 左辺と右辺のwの係数が異なるから,\ \zettaiti{2w+1}=\zettaiti{w-2}\,は\bm{アポロニウスの円}である. \\[.2zh] 内分点\  外分点\ \
アポロニウスの円に気付けない場合,\ 絶対値を2乗して扱う.\ 多くの問題集の正攻法である. \\[.2zh] 整理していくと\bm{円の一般形\ w\kyouyaku w-\kyouyaku\alpha w-\alpha\kyouyaku w+c=0}\ になるので,\ \zettaiti{w-\alpha}=r\ の形に変形する. \\[.5zh] 1次分数変換(メビウス変換)}}という. \\[1zh] 1次分数変換が\textbf{\textcolor{magenta}{基本的な変換の合成変換}}であることを確認しよう. $w$は$z$に\maru1~\maru3の変換をしたものとわかる. \\[1zh] \maru1\ \ $\bunsuu{\beta}{\alpha}$平行移動 \\[.2zh] \maru2\ \ 原点を中心として反時計回りに$\theta$回転移動 \\[.2zh] \maru3\ \ 原点を中心とする$r$倍の拡大(縮小) $w$は$z$に\maru1~\maru5の変換をしたものとわかる. \\[1zh] \maru1\ \ $\bunsuu{\delta}{\gamma}$平行移動 \\[.2zh] \maru2\ \ 逆数をとる($反転+実軸に関する対称移動$) \\[.2zh] \maru3\ \ 原点を中心として反時計回りに$\theta$回転移動 \\[.2zh] \maru4\ \ 原点を中心とする$r$倍の拡大(縮小) \\[.2zh] \maru5\ \ $\bunsuu{\alpha}{\gamma}$平行移動 \\\\\\
反転変換では,\ 直線を半径無限大の円とみなすならば,\ 円は円に移るのであった. \\[.2zh] 平行移動,\ 対称移動,\ 回転移動,\ 拡大(縮小)によっても,\ 円が円に移ることは明らかである. \\[.2zh] 結局,\ それらの\textbf{\textcolor{magenta}{基本的な変換の合成変換である1次分数変換も円を円に移す円円対応}}である.
反転変換は\ z\ \rightarrow\ \bunsuu{1}{\kyouyaku z},\ また,\ 変換\ \kyouyaku z\ \rightarrow\ z\ は,\ 図形的には実軸に関する対称移動である. \\[.2zh] よって,\ 変換\ z\ \rightarrow\ \bunsuu{1}{z}\ は,\ 反転と実軸に関する対称移動の合成変換である. \\[.8zh] 反転と実軸に関する対称移動の順序はどちらが先でも同じである.