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複素数平面上の異なる3点$\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}$を頂点とする$\triangle$ABCの外心Oを表す \\[.2zh] \hspace{.5zw}複素数を$z$とする.\ $z=\bunsuu{(\alpha-\beta)\zettaiti{\gamma}^2+(\beta-\gamma)\zettaiti{\alpha}^2+(\gamma-\alpha)\zettaiti{\beta}^2}{(\alpha-\beta)\kyouyaku\gamma+(\beta-\gamma)\kyouyaku\alpha+(\gamma-\alpha)\kyouyaku\beta}$となることを示せ. \\
三角形の外心を表す複素数}}}
ここで,\ 3点A,\ B,\ Cは一直線上にないから,\ $\bunsuu{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}$は実数ではない.
外心\text Oは,\ 「\bm{頂点\textbf{A,\ B,\ C}までの距離が等しい}」か「\bm{3辺の垂直二等分線の交点}」としてとらえる. \\[.2zh] 解答は前者である.\ ただし,\ \zettaiti{z-\alpha}=\zettaiti{z-\beta}\ は線分\text{AB}の垂直二等分線を表すのであった. \\[.2zh] つまり,\ 複素数平面ではどちらで外心をとらえても結局同じである. \\[.2zh] 等式の数は=の数に等しいから,\ 実質的に等式が2つできる. \\[.2zh] 2つの等式をそれぞれ変形・整理し,\ zと\,\kyouyaku z\,の連立方程式とみて\,\kyouyaku z\,を消去すると,\ zが得られる. \\[.2zh] このとき,\ 安易に(\kyouyaku\alpha-\kyouyaku\beta)(\alpha-\gamma)-(\kyouyaku\alpha-\kyouyaku\gamma)(\alpha-\beta)で割ってはならず,\ \bm{\neqq0\,を確認する}必要がある. \\[.2zh] =0と仮定するとどうなるかを考えてみると,\ \neqq0であることがわかる
これは,\ 「\,z=\kyouyaku z\ \Longleftrightarrow\ zは実数」より,\ \bunsuu{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}\ が実数であることを意味する. \\[.5zh] 更に,\ 「\,\bunsuu{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}\ が実数」は\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}が同一直線上にあること(\bm{共線条件})を意味していた. \\[.8zh] \triangle\text{ABC}に矛盾するから\neqq0といえ,\ この思考を踏まえて逆から遡ると解答のように記述できる. \\[.2zh] 最後,\ 分子と分母をそれぞれ展開して整理し直す.