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複素数平面上の4点A($i$),\ B($-\,i$),\ C($4-i$),\ D($3+2\,i$)が同一円周上にあることを示せ. \\
4点が同一円周上にある条件}}}} \\\\[.5zh] $\alpha=i,\ \ \beta=-\,i,\ \ \gamma=4-i,\ \ \delta=3+2\,i$とおく. \\[1zh] \textcolor{cyan}{点Cと点Dは直線ABに関して同じ側にある.} \\[1zh] 点Aと点Cは直線BDに関して異なる側にある.} \\[1zh] \bm{\mathRM{\angle ACB=\angle ADB}\ (円周角の定理の逆)}\,(左図)や\bm{対角の和が\,\pi}\,(右図)であることを示せばよい. \\[1zh] 複素数平面においてなす角を考えるとき,\ \bm{回転の向きに注意する}必要がある. \\[.2zh] \text{\scalebox{1}[.97]{$\arg\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\,が\,\bekutoru{CA}\,から\,\bekutoru{CB}\,へ反時計回りに測った角である.$}} \\[.8zh] \bm{図で4点の位置を確認}した上で,\ 0<偏角<\pi\,となるように\,\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\,を考えたわけである. \\[.8zh] \text{\scalebox{1}[.97]{$\arg\bunsuu{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}\,とすると,\ \bekutoru{CB}\,から\,\bekutoru{CA}\,へ反時計回りに測った角となり,\ 後の処理がややこしくなる.$}} \\[.8zh] \text{\scalebox{1}[.97]{$同様に\,\bekutoru{DA}\,から\,\bekutoru{DB}\,へ反時計回りに測った角も求めると,\ 偏角が等しいことが示される.$}} \\[.2zh] \mathRM{\angle ACB=\angle ADBでも,\ 点C,\ Dが直線ABに関して異なる側にあると同一円周上ではなくなる.} \\[.2zh] そこで,\ 一番最初に断っておいたわけである. \\[.2zh] もっとも,\ 偏角の符号を考慮すると,\ \arg\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\bunsuu{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\,さえ示せば同じ側にあるといえる. \\[.8zh] 実際,\ 異なる側にあると\,\arg\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\bunsuu{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\,が成り立つことはない. \\[.8zh] \arg\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=-\arg\bunsuu{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\,ならば成り立ちうる. \\\\
別解は対角の和が\,\pi\,であることを示すものである.\ やはり,\ 回転の向きに注意を要する. \\[.2zh] \text{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{AB}\,から\,\bekutoru{AD},\ および\,\bekutoru{CD}\,から\,\bekutoru{CB}\,へ反時計回りに測った角を考えるべきである.$}} \\[.2zh] \bm{\arg z_1+\arg z_2=\arg z_1z_2}\ を適用して計算することになる.  -2=2(\polar{\pi}) \\[.2zh] \mathRM{\angle BAD+\angle DCB=\pi\,でも,\ 点A,\ Cが直線BDに関して同じ側にあると同一円周上ではなくなる.} \\[.2zh] もっとも,\ 回転の向きが逆なので,\ 同じ側にあると偏角の和が\,\pi\,になることはない.
4点A,\ B,\ C,\ Dが同一円周上にある条件を一般化する. \\\\
[1]\ \ 異なる\textcolor{cyan}{4点A,\ B,\ C,\ Dがこの順で同一円周上}にあるとき
\phantom{ [1]}\ \ 異なる\textcolor{cyan}{4点A,\ B,\ D,\ Cがこの順で同一円周上}にあるときも同様である.
[2]\ \ 異なる\textcolor{cyan}{4点A,\ C,\ B,\ Dがこの順で同一円周上}にあるとき 
異なる4点$\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma),\ D(\delta)}$が一直線上にないとき     \\[.5zh] $\bm{\mathRM{\bm{\textcolor{cyan}{4点A,\ B,\ C,\ Dが同一円周上にある}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\bunsuu{(\beta-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}\ が実数}}}$
[1]\ \ \mathRM{「\,4点A,\ B,\ C,\ Dがこの順で同一円周上」は,\ 反時計回りか時計回りかの2パターンがある.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ どちらにしても,\ その条件は\ \arg\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\bunsuu{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\ と立式できる. \\[.8zh] \phantom{[1]}\ \ 左図の場合には左辺と右辺は正,\ 右図の場合には左辺と右辺は負となる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ また,\ 円周角の定理であるから,\ \mathRM{点Cと点D}の順序が入れ替わっても同じである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{\arg z_1-\arg z_2=\arg\bunsuu{z_1}{z_2}}\ を適用するとまとめられる. \\\\
\text{[2]}\ \ \mathRM{「\,4点A,\ C,\ B,\ Dがこの順で同一円周上」にも,\ 反時計回りか時計回りかの2パターンがある.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 左図の場合の対角の和は-\pi,\ 右図の場合の対角の和は\,\pi\,となる. \\\\
最終的に,\ 「\,\bunsuu{(\beta-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}\ が実数\,」とまとめられる. \\[1zh] \beta=\gamma\,や\,\alpha=\delta\,のときも0\,(実数)となってしまうので,\ 「異なる4点」としている. \\[.2zh] ここで,\ 3点\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}が一直線上にあるとき,\ 「\,\bunsuu{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\ が実数\,」である. \\[1zh] 同様に,\ 3点\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ D(\delta)}が一直線上にあるとき,\ 「\,\bunsuu{\alpha-\delta}{\beta-\delta}\ が実数\,」である. \\[.8zh] 結局4点\mathRM{A,\ B,\ C,\ D}が一直線上にあるときも\ \bunsuu{(\beta-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}\ が実数となるので,\ 除外している.