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複素数平面上の点$z$が中心2,\ 半径1の円上を動くとき,\ 複素数$w=(1+i)z-i$によっ \\[.2zh] \hspace{.5zw}て表される点$w$が描く図形を答えよ. \\
{変換$\bm{w=\alpha z+\beta}$による像}}}} \\\\[.5zh] 点$z$が中心2,\ 半径1の円上を動くから \bm{中心2+i,\ 半径\,\ruizyoukon2\,の円}$}
数学的には\bm{すべての図形は点の集合}であるから,\ \bm{図形の移動(変換)は点の移動に帰着}する. \\[.2zh] 今,\ 次の2点が既知である. \\[.5zh] [1]\ \ 変換前の点zが\zettaiti{z-2}=1を満たす. \\[.5zh] [2]\ \ 変換前の点zと変換後の点wの関係がw=(1+i)z-iで表される. \\[.5zh] 目標は,\ \bm{未知の変換後の点wが満たす式}を求めることである. \\[.2zh] そのためには,\ \bm{[2]をw=にして[1]に代入し,\ zを消去すればよい}というわけである. \\\\
積や商の絶対値は分割できる.  
\bm{変換w=\alpha z+\beta\ の図形的な意味}を理解しておくことも重要である. \\[.2zh] \alpha=r(\polar{\theta})\ とすると w=r(\polar{\theta})z+\beta \\[.2zh] zに\polar{\theta}\,を掛けることは,\ 図形的には\bm{原点を中心として\,\theta\,回転移動}することに相当する. \\[.2zh] rを掛けることは,\ 図形的には\bm{原点を中心としてr倍拡大(縮小)}することに相当する. \\[.2zh] \beta\,を足すことは,\ 図形的には\,\bm{\beta\,平行移動}することに相当する. \\[.2zh] 変換w=\alpha z+\beta\,は,\ \bm{回転移動,\ 拡大・縮小,\ 平行移動の合成変換}というわけである. \\[1zh] 以上を踏まえ,\ 本問を図形的に考える.\ \ まず,\ w=\ruizyoukon2\left(\polar{\bunsuu{\pi}{4}}\right)z-iと変形できる. \\[.8zh] よって,\ 中心2,\ 半径1の円を以下のように移していくと点wが描く図形となる.
\maru1\ \ 原点を中心として\,\bunsuu{\pi}{4}\,回転移動 & 中心\,\ruizyoukon2+\ruizyoukon2\,i,\ 半径1の円に移る. \\[.8zh] \maru2\ \ 原点を中心とする\,\ruizyoukon2\,倍の拡大  & 中心2+2i,\ 半径\,\ruizyoukon2\,の円に移る. \\[.2zh] \maru3\ \ 虚軸方向に-1平行移動 & 中心2+i,\ 半径\,\ruizyoukon2\,の円に移る.