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複素数平面の原点をP$_0$とし,\ P$_0$から実軸の正の方向に1進んだ点をP$_1$とする.\ 次に \\[.2zh] \hspace{.5zw}P$_1$を中心として$\bunsuu{\pi}{4}$回転して向きを変え,\ $\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}$進んだ点をP$_2$とする.\ 以下同様にP$_n$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}に到達した後,\ $\bunsuu{\pi}{4}$回転してから前回進んだ距離の$\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}$倍進んで到達する点をP$_{n+1}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}とする.\ このとき,\ 点P$_{10}$が表す複素数を求めよ.          [日本女子大]  点P$_n$を表す複素数を$z_n$とすると,\ \textcolor{red}{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{OP$_1$}$}\ を表す複素数}は $z_1-z_0=z_1-0=\textcolor{red}{z_1}$ \\[1.5zh]  さて,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{P$_{1}$P$_{2}$}$}\ は\ \scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{OP$_{1}$}$}\ を\,$\bunsuu{\pi}{4}\,回転して\,\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,倍したものに等しい.$} \\[.2zh]  同様に,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{P$_2$P$_3$}$}\ は\ \scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{P$_1$P$_2$}$}\ を$\bunsuu{\pi}{4}$回転して$\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}$倍したものに等しい.} \\[.2zh]  これを繰り返すと を表す複素数}は  \bm{同じ回転と拡大(縮小)を繰り返す点の移動}は複素数平面上で考えることが有効である. \\[.2zh] 複素数平面では\bm{回転と拡大は単に掛けるだけであり,\ 結局等比数列の和に帰着する}からである. \\[.2zh] 便宜的にベクトルで表すと次のようになる. \\[.5zh] 後は,\ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ \bm{\bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}}\ を適用する. \\[.5zh] また,\ \alpha^{10}\,を\bm{極形式とド・モアブルの定理を利用}して求める. \\[.2zh] 実際には直ちに\,z_1=1\,とすればよいが,\ 上の解答では応用性を考えて\ z_1=1\ を最後に代入した.