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複素数$zが\zettaiti{z}=1$を満たす.\ $w=\bunsuu{2z+i}{\Cnum{z}-{2}}$とするとき,\ $w$はどんな図形を描くか. \\  数学的には\textbf{\textcolor{purple}{図形は点の集合}}であるから,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{図形の移動(変換)は点の移動に帰着}}する. \\[.2zh]  今,\ 次の2点が既知である. \\[.5zh]   [1]\ \ \textcolor{cyan}{変換前の点$z$}が\textcolor{cyan}{$\zettaiti{z}=1$}を満たす. \\[.2zh]   [2]\ \ \textcolor{cyan}{変換前の点$z$}と\textcolor{magenta}{変換後の点$w$}の関係が$\textcolor{red}{w=\bunsuu{2z+i}{\Cnum{z}-{2}}}$で表される. \\[.5zh]  目標は,\ \textcolor{magenta}{未知の変換後の点$w$が満たす式}を求めることである. $に変形し,\ \textcolor{cyan}{変換前の点が満たす式$\zettaiti{z}=1$}に代入する. \\\\\\  このとき,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{線分ABを$1:2$に内分する点は\ $\bunsuu13,\ \ 外分する点は\,-\,3$}である. \\\\ \centerline{$\therefore \bm{点\,\bunsuu13\,と点-3\,を直径の両端とする円}$} \\\\\\ \maru1にw=2を代入すると0=5iとなるから満たさない. \\[.2zh] よってw\neqq2なので,\ z=(wの式)に変形できる.\ \zettaiti{z}=1\ に代入してwが満たす式が求まる. \\[.2zh] 後はどんな図形かがわかるような式の形に変形する.\ 本問では,\ \bm{絶対値のまま変形する}と簡潔に済む. \\ これが\bm{アポロニウスの円}であることに気付けたならば後は簡単である. \\[.3zh] 内分点\ 結局,\ 原点中心で半径1の円から中心\,-\bunsuu43\,で半径\,\bunsuu53\,の円に移ることがわかる. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  \betu\ \ [\textcolor{blue}{$z=(wの式)$を代入後,\ 絶対値を一旦展開して整理する}] \\[.8zh]  分母を払うと 展開すると   整理して  絶対値のままでの処理ができない,\ アポロニウスの円に気付けないという場合はこの解法になる. \\[.2zh] 整理していくと\bm{円の一般形\ w\kyouyaku w-\kyouyaku\alpha w-\alpha\kyouyaku w+c=0}\ になるので,\ \zettaiti{w-\alpha}=r\ の形に変形する. \\[.2zh] $とおいて座標平面に帰着させる}] \\[.8zh]  $ 方法自体はわかりやすく万能であるが計算が大変になるので最終手段である. \\[.2zh] w=\bunsuu{2z+i}{\Cnum{z}-{2}}\ に代入し,\ 分母を実数化した後,\ 実部と虚部を比較する. \\[.7zh] 後は,\ 変換前の点(x,\ y)を消去し,\ 変換後の点(X,\ Y)に関する式を導く. \\[.2zh] X=\bunsuu{-\,3y}{-4\,y+5},\ \ Y=\bunsuu{5x}{-\,4y+5}\ をx=,\ y=の形に変形してx^2+y^2=1に代入すればよい. \\[.2zh] つまり,\ X,\ Yを定数とみたx,\ yの連立方程式