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この公式の主張はとてつもなく強烈である. \\[.4zh] \centerline{{\large \textbf{「\textcolor{red}{複素数は何乗であれ,\ 極形式で表せば1乗にできる}」}}} \\\\ よって,\ z=\polar{\theta}\ に対し,\ 次の式が導かれる. \\[.5zh] これらを一般化したものがド・モアブルの定理である.\ 厳密な証明は数学的帰納法による. \\[1zh] さらに,\ 実数と同様に\bm{z^0=1}\ とすると,\ n=0のときも成立する. \\[.2zh] このように,\ nが負の整数のときにも成立するから,\ すべての整数について成立する. \\[1.5zh] ド・モアブルの定理があれば,\ z^{100}\,だろうがz^{1000}\,だろうが恐れる必要はない. \\[.2zh] 複素数のn乗をみたとき,\ 「結局は1乗だ」と認識しよう.\ z^{100}\,ならば角度を100倍すれば済む. \\[.2zh] しかも,\ 角度は結局\ 0\leqq\theta<2\pi\ で考えればよいから,\ 何倍しても大して影響しない. \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 極形式で表してド・モアブルの定理を適用すると1乗になる.\ 綺麗な角になり,\ 値が求まる. \\[.2zh] (2)では,\ もちろん偏角を\,\bunsuu{11}{6}\pi\,として計算してもよい. (1)\ \ 15乗だろうが12乗だろうが極形式で表せば1乗にできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母を払うとzの2次方程式になるので解の公式で解を求め,\ 極形式に変形すればよい. \\[1zh] (2)\ \ 2n乗も結局は1乗である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ド・モアブルの定理を適用後,\ \bm{\cos(-\theta)=\cos\theta,\ \sin(-\theta)=-\sin\theta}\ によって整理する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{n\pi}{2}\times4=2n\pi\ であるから,\ \bm{\bunsuu{n\pi}{2}\,は周期4で循環}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際にn=1から代入してみると,\ \bunsuu{\pi}{2},\ \pi,\ \bunsuu32\pi,\ 2\pi,\ \bunsuu52\pi,\ \cdots\ となるが,\ \bunsuu52\pi=\bunsuu{\pi}{2}\ である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \cos\bunsuu{\pi}{2}=0,\ \cos\pi=-1,\ \cos\bunsuu32\pi=0,\ \cos2\pi=1\ と循環する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{自然数nを4で割った余りで場合分け}して答えることになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ z^n+\bunsuu{1}{z^n}=z^n+z^{-n}=\polar[r^n]{n\theta}+\polar[r^{-n}][\{]{(-n\theta)} \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{z^n+\bunsuu{1}{z^n}}=(r^n+r^{-n})\cos n\theta+(r^n-r^{-n})\sin n\theta \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ 特に\bm{r=1のとき,\ z^n+\bunsuu{1}{z^n}=2\cos n\theta=(実数)}\ となるわけである.