検索用コード
(1+\ruizyoukon3\,i)^n$が実数となるような自然数$n$のうち,\ 最も小さいものを求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $(1+i)^n=(1-i)^n$を満たす100以下の自然数$n$の個数を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $(1+\ruizyoukon3\,i)^m=(1+i)^n$を満たす自然数$(m,\ n)$のうち,\ $m+n$が最も小さくなる \\[.2zh] ド・モアブルの定理と累乗の等式を満たす整数}}
\phantom{ (1)}\ \ 実数となる条件は $\sin\bunsuu{n\pi}{3}=0$ より $\textcolor{red}{\bunsuu{n\pi}{3}=k\pi\ \ (k:整数)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $n=3k$ より $最小の自然数は \bm{n=3}\ \ (k=1のとき)$
n乗であるから,\ \bm{極形式に変形してド・モアブルの定理を適用}する. \\[.2zh] ド・モアブルの定理 (\polar{\theta})^n=\polar{n\theta} \\[.2zh] \sin\theta\,が0となる\,\theta\,は\ \cdots,\ -\,2\pi,\ -\,\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ \cdots\ と無限にある. \\[.2zh] これらをk\pi\ (k:整数)と表すとnが求まるので,\ 条件を満たすnを答えればよい. \\[1zh] 最小の自然数nを求めるのならば,\ \bm{n=1から順に計算していく}という単純な方法もある(別解). \\[.2zh] もちろん常にうまく見つかるとは限らないのでリスクもあるが,\ これでも立派な解答である.
\phantom{ (1)}\ \ $n$は自然数より\textcolor{magenta}{$k$は3の倍数}であるから $\bm{25個}$
左辺と右辺をそれぞれ極形式にして\bm{絶対値と偏角}を比較する.\ 本問では絶対値は一致している. \\[.2zh] 偏角の比較では,\ 2k\pi\ (k:整数)がつくことに注意する. \\[.2zh] さらにkの範囲を絞り込み,\ nが自然数となるようなkの個数を答える. \\[.2zh] 範囲内にある3の倍数は,\ -75=-\,3\times25から-3=-\,3\times1までの25個である.
絶対値と偏角をそれぞれ比較すると,\ mとnの連立方程式となる. \\[.2zh] mとnは自然数なのでm\geqq1,\ n\geqq1,\ つまりm+n\geqq2である. \\[.2zh] よって,\ k=-\,1のときm+nは最小値36をとる.