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次の不等式の表す領域を図示せよ. \\[1zh] 求める領域は,\ \bm{上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 絶対値が付いているならば,\ それを外してから図示すればよい. \\ 外し方の基本は,\ ただし,\ 本問は次の同値関係を用いて一発で外せる型である. \\ \bm{aが正の定数のとき -1\leqq x+y\leqq1\ は,\ \bm{-1\leqq x+y\ かつ\ x+y\leqq1}\ である. \\ 本問の領域の図示は容易だが,\ 頻出するので暗記推奨である. {対称性を利用}}する. \\  一般に,\ \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{F(x,\ y)=0}$のグラフにおける対称性}}が次である. \\[.7zh] F(x,\ \textcolor{red}{-y})=F(x,\ y) & ならば \textcolor{red}{x軸対称} \\ F(\textcolor{red}{-x},\ y)=F(x,\ y) & ならば \textcolor{red}{y軸対称} \\ F(\textcolor{red}{-x},\ \textcolor{red}{-y})=F(x,\ y) & ならば \textcolor{red}{原点対称} \\ F(\textcolor{red}{y},\ \textcolor{red}{x})=F(x,\ y) & ならば \textcolor{red}{直線y=xに関して対称} わかりやすく表現すると,\ 次のようになる. \\ yを-yに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ x軸対称である. \\ xを-xに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ y軸対称である. \\ xを-x,\ yを-yに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ 原点対称である. \\ xをy,\ yをxに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ y=xに関し対称である. \phantom{ (2)}\ このとき,\ $\textcolor{red}{F(x,\ -y)=F(-x,\ y)=F(x,\ y)}\ が成立する.$ \\[.2zh] \phantom{ (2)}\ よって,\ $求める領域は,\ \textcolor{red}{x軸とy軸に関して対称}である.$ \\[.2zh] 求める領域は,\ \bm{上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} \\\\ \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \zettaiti x+\zettaiti y-1\leqq0\ より,\ F(x,\ y)=\zettaiti x+\zettaiti y-1\ とおくのが基本的かもしれない. \\ ただし,\ 定数部分は変化しないから,\ 同じことである. \\[1zh] 真面目に場合分けすると,\ 絶対値が2つあるので,\ 次のように4つになる. \\ 面倒な上,\ 紛らわしく見通しも悪い.\ 応用性もない. \\[1zh] 絶対値付き不等式の表す領域は,\ \bm{常に対称性の有無を調べる}癖をつけておく. \\ 結局,\ x軸対称かつy軸対称であり,\ これから原点対称もいえる. \\[1zh] \bm{x軸対称かつy軸対称であれば,\ 第1象限のみの領域を考えれば済む.} \\ x\geqq0,\ y\geqq0,\ y\leqq-x+1\ を図示すると,\ 上図の水色の部分となる. \\ これを,\ x軸とy軸に関して対称になるように折り返せばよい. \\[1zh] 絶対値を見て,\ 「場合分けが面倒だ」と抵抗感を持っていたかもしれない. \\ むしろ逆で,\ \bm{絶対値のおかげで対称性を生まれ,\ 容易に図示できる}のである. \\[1zh] 一般に,\ \zettaiti x+\zettaiti y\leqq a\ (a0)\ が次のような領域を表すことは\bm{暗記必須}である. \\ \bm{\zettaiti x+\zettaiti y\leqq a  頂点(a,\ 0),\ (0,\ a),\ (-a,\ 0),\ (0,\ -a)の正方形} \hspace{.5zw}不等式\ $1\leqq\zettaiti{\zettaiti x-2}+\zettaiti{\zettaiti y-2}\leqq3$\ の表す領域を$xy$平面に図示せよ. \\  このとき,\ $\textcolor{red}{F(x,\ -y)=F(-x,\ y)=F(x,\ y)}$\ が成立する. \\[.2zh]  よって,\ 求める領域は,\ $\textcolor{red}{x軸とy軸に関して対称}である.$ \\[.2zh]  ゆえに,\ をx方向に2,\ y方向に2平行移動}した領域である.$ \\[1zh]  このとき,\ $\textcolor{red}{G(x,\ -y)=G(-x,\ y)=G(x,\ y)}$\ が成立する. x軸とy軸に関して対称}である.$ \\[.2zh]  ゆえに,\ 表す領域が次である.$ \\\\ $x方向に2,\ y方向に2$平行移動}すると,\ \maru1の表す領域となる. \\\\ x軸とy軸に関して対称となるよう折り返す}と,\ 問題の領域となる.$ \\\\ \centerline{$求める領域は,\ \bm{上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 絶対値をまともに場合分けして外そうなどと考えると,\ 地獄絵図になる. \\ 本問は,\ \bm{対称性と平行移動の考慮が必須}である. \\[1zh] まず,\ 問題の領域がx軸とy軸に関して対称であることを確認する. \\ 結局,\ 第1象限だけを考えればよく,\ このとき\bm{内側の絶対値が外れ},\ \maru1となる. \\[1zh] \maru1が,\ \bm{\zettaiti x+\zettaiti y\leqq a型の領域を平行移動したもの}と気付けるかが重要である. \\ \zettaiti x+\zettaiti y\leqq a型の領域を1つの型として暗記してなければ厳しいだろう. \\ もちろん,\ 平行移動の基本知識も必要である. \\ x方向にa,\ y方向にb平行移動するとき,\ x\to x-a,\ y\to y-b\ とするのだった. \\[1zh] 一度整理する.\ 問題の領域の第1象限が\maru1である. \\ よって,\ \maru1の図示ができれば,\ 後は対称になるよう折り返すだけである. \\[1zh] \maru1を図示するには,\ \bm{1\leqq\zettaiti x+\zettaiti y\leqq3\ \ \cdots\maru2\ を図示し,\ 平行移動}すればよい. \\ \maru2を図示するために,\ \maru2の対称性を確認する. \\ x軸とy軸に関して対称であるから,\ 第1象限だけを考え,\ 折り返せばよい. \\ \maru2の第1象限は,\ -x+1\leqq y\leqq x+3\ (水色の部分)である. \\ これをx軸とy軸に関して対称となるように折り返して,\ 領域\maru2が得られる. \\ \maru2をさらに,\ 平行移動することで,\ 領域\maru1(黄色の部分)を得る. \\ これをさらに折り返して,\ 問題の領域を得る. \\[1zh] ちなみに,\ 本問は2013年大阪大学(理系)の大問2である.