couple-locus

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円\ $(x-2)^2+y^2=4\ 上の点\mathRM{O(0,\ 0)とA(4,\ 0)}がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}点\mathRM{Q}が円上を動くとき,\ $\triangle$\mathRM{OAQ}の重心\mathRM{P}の軌跡を求めよ. \\  \textbf{\textcolor{red}{ある動点Qが動くにつれてできる点Pの軌跡}}を\textbf{\textcolor{blue}{連動点の軌跡}}という. \\  連動点の軌跡は,\ 次のような手順で求める. \\[.5zh]   $[1]$\ \textbf{\textcolor{cyan}{途中の動点Q}}と\textbf{\textcolor{red}{軌跡上の動点P}}を文字でおく. \\[.2zh]   $[2]$\ \textbf{\textcolor{purple}{点P,\ Qが満たすべき条件式を全て列挙する.}} \\[.2zh]   $[3]$\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{不要な文字を消去}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{P$\bm{(x,\ y)}$の関係式}}を導く. \\\\[1zh] 求める軌跡は,\ 次の3つの条件式を全て満たす点\mathRM{P}(x,\ y)の集合である. \\ 途中の動点\mathRM{Q}(s,\ t)が満たすべき式 (s-2)^2+t^2=4 \\ 点\mathRM{P}(x,\ y)と点\mathRM{Q}(s,\ t)が満たすべき関係式 x=\bunsuu{s+4}{3},\ \ y=\bunsuu t3 \\ \bm{点\mathRM{P}が満たす式は,\ 点\mathRM{Q}が満たす式に点\mathRM{P,\ Q}の関係式を代入して得られる.} \\ 受験テクニック的に言えば,\ \bm{s,\ tを消去してx,\ yの式にすればよい}のである. \\[1zh] (3x-6)^2+(3y)^2=4\ は,\ 展開せずに円の方程式の基本形にする. \\ 最後,\ \bm{十分性を図形的に考慮し,\ 三角形が作られない2点を除く}ことになる.