1932年、チャドウィックは、ベリリウムにα粒子を照射すると発生する透過力の強い放射線を調べ、中性子の存在を明らかにした。この放射線をパラフィンなどの水素を多く含む物質に照射すると、高速の陽子が飛び出すことが観測された。
陽子の質量を m＝1.67×10⁻²⁷ kg、光速を c＝3.0×10⁸ m/s、1 eV＝1.6×10⁻¹⁹ J とする。
(1) ⁹₄Be にα粒子を衝突させる核反応について、γ線が生成されると仮定した場合と、中性子が生成される場合の核反応式をそれぞれ記せ。
【Ⅰ．γ線仮説の検討】
まず、未知の放射線をγ線（光子）と仮定する。静止した陽子に光子を衝突させたところ、光子は入射方向と逆向きに散乱され、陽子は入射方向に速さ Vₕ＝3.9×10⁷ m/s で反跳した。衝突前後の光子のエネルギーをそれぞれ E、E′ とし、陽子の運動量と運動エネルギーには非相対論的な近似を用いる。
(2) 光子と陽子の衝突における運動量保存則とエネルギー保存則を示せ。
(3) 衝突前の光子のエネルギー E を m、Vₕ、c で表せ。また、E を MeV 単位で求めよ。
次に、このγ線がベリリウムとα粒子の核反応によって生成されたと仮定する。この核反応で放出されるエネルギー（Q値）を10.6 MeV、入射するα粒子の運動エネルギーを5.3 MeVとする。
(4) 核反応によって生成される光子がもちうるエネルギーの上限を求めよ。また、(3)の結果と比較し、未知の放射線をγ線と考えることが困難である理由を説明せよ。
【Ⅱ．中性粒子仮説の検討】
次に、未知の放射線を質量 mₙ の電荷をもたない粒子と仮定する。この粒子が速さ v で静止した質量 M の原子核に正面衝突する場合を考える。衝突は完全弾性衝突であり、原子核の内部エネルギーの変化は無視する。衝突後の原子核の反跳速度を V とする。
(5) 衝突後の中性粒子の速度を v′（入射方向を正）とする。運動量保存則と力学的エネルギー保存則を示せ。
(6) 衝突後の原子核の反跳速度 V を mₙ、M、v を用いて表せ。
この粒子を陽子に正面衝突させたところ、陽子の反跳速度は Vₕ＝3.9×10⁷ m/s であった。また、同じ速さの粒子を窒素原子核に正面衝突させたところ、窒素原子核の反跳速度は Vₙ＝5.2×10⁶ m/s であった。ただし、窒素原子核の質量を14mとする。
(7) 陽子と窒素原子核の反跳速度の測定結果から、中性粒子の質量 mₙ が陽子の質量 m の何倍であるかを求めよ。
(8) 衝突前の中性粒子の速さ v を求めよ。また、運動エネルギー K を MeV 単位で求めよ。
最後に、静止したベリリウム原子核にα粒子を衝突させ、中性子が生成される場合を考える。この核反応のQ値を＋5.7 MeV、入射するα粒子の運動エネルギーを5.3 MeVとする。
(9) 核反応後の中性子と炭素原子核の運動エネルギーの総和を(8)の結果と比較し、中性粒子仮説がエネルギー保存則から直ちに否定されない理由を説明せよ。
【解答・解説】
(1) γ線が生成される場合
⁹₄Be ＋ ⁴₂He → ¹³₆C ＋ γ
中性子が生成される場合
⁹₄Be ＋ ⁴₂He → ¹²₆C ＋ ¹₀n
［補足］核反応の前後で質量数と電荷は保存する。反応前の質量数の総和は13、電荷の総和は6である。γ線（光子）の質量数と電荷は0、中性子の質量数は1、電荷は0である。よって、生成される原子核は、それぞれ質量数13と12の炭素原子核である。
(2) 運動量保存則より
E/c＝−E′/c＋mVₕ ……①
エネルギー保存則より
E＝E′＋½mVₕ² ……②
［補足］光子の振動数をν、運動量の大きさをpとすると、E＝hν、p＝hν/c＝E/c。
運動量は向きをもつ量であり、入射方向を正とすると、逆向きに散乱された光子の運動量は負となる。
陽子の速さは光速の0.13倍であり、相対論的効果を無視してニュートン力学を適用する（非相対論的近似）。この近似では、陽子の運動量はmVₕ、運動エネルギーは½mVₕ²で表される。
(3) ①の両辺にcを掛けると
E＋E′＝mVₕc ……③ ［E′の消去を目指す］
②より
E−E′＝½mVₕ² ……④
③＋④より
2E＝mVₕc＋½mVₕ²
∴ E＝½mVₕc＋¼mVₕ²
E＝½(1.67×10⁻²⁷)(3.9×10⁷)(3.0×10⁸)＋¼(1.67×10⁻²⁷)(3.9×10⁷)²
＝9.7695×10⁻¹²＋6.3502×10⁻¹³ ≒1.0405×10⁻¹¹ J
1 MeV＝1.6×10⁻¹³ Jより
E＝(1.0405×10⁻¹¹)/(1.6×10⁻¹³) MeV ≒65 MeV
(4) 光子がもちうるエネルギーの上限は
10.6＋5.3＝15.9 ≒16 MeV
実際には生成される炭素原子核も反跳するため、光子のエネルギーはこれより小さい。
一方、(3)より、陽子を3.9×10⁷ m/sで反跳させるには、約65 MeVの光子が必要となる。
核反応で供給できるエネルギーよりも必要な光子のエネルギーが大きいため、未知の放射線をγ線と考えることは困難である。
(5) 運動量保存則より
mₙv＝mₙv′＋MV ……⑤
力学的エネルギー保存則より
½mₙv²＝½mₙv′²＋½MV² ……⑥
［補足］入射方向を正とし、衝突後の中性粒子v′も同じ向きを正として運動量保存則を立てる。v′は符号を含む速度であり、逆向きに反跳する場合は計算結果が負となる。
完全弾性衝突であるから、衝突前後で力学的エネルギーが保存する。
反発係数eは主に巨視的な物体の衝突で用いられるが、原子核の衝突にも適用できる。ただし、原子核の衝突では、運動量保存則とエネルギー保存則を基本に考える方が一般性が高い。
(6) ⑤より
mₙ(v−v′)＝MV ……⑦
⑥より
mₙ(v²−v′²)＝MV²
よって
mₙ(v−v′)(v＋v′)＝MV²
⑦を代入すると
MV(v＋v′)＝MV²
V≠0より
v＋v′＝V ……⑧
⑧の v′＝V−v を⑦に代入すると
mₙ(2v−V)＝MV
∴ V＝2mₙv/(mₙ＋M)
［補足］v′の消去を目指す。因数分解を利用して、まず質量を含まない速度の関係式⑧を導く。
なお、⑧のv＋v′＝Vは、反発係数 e＝−(v′−V)/(v−0)＝1 から得られる関係式と一致する。
難しければ、⑤より v′＝v−(M/mₙ)V とし、これを⑥に直接代入してもよい。
mₙv²＝mₙv²−2MvV＋(M²/mₙ)V²＋MV²
よって
2MvV＝(M²/mₙ＋M)V²
MV≠0より
2v＝(M/mₙ＋1)V
∴ V＝2mₙv/(mₙ＋M)
(7) (6)より、陽子の反跳速度は
Vₕ＝2mₙv/(mₙ＋m)＝3.9×10⁷ m/s ……⑨
同様に、窒素原子核の反跳速度は
Vₙ＝2mₙv/(mₙ＋14m)＝5.2×10⁶ m/s
両式の比をとると
Vₕ/Vₙ＝(mₙ＋14m)/(mₙ＋m)＝(3.9×10⁷)/(5.2×10⁶)＝7.5
mₙ＋14m＝7.5(mₙ＋m) より mₙ＝m
∴ mₙ/m＝1
［補足］2つの反跳速度の式には未知の入射速度vが共通して含まれるため、比をとることでvを消去する。これにより、入射速度を知らなくても、反跳速度の測定結果から中性粒子の質量を決定できる。
(8) ⑨と mₙ＝m より
v＝((mₙ＋m)/(2mₙ))Vₕ＝((m＋m)/(2m))Vₕ＝Vₕ＝3.9×10⁷ m/s
また、衝突前の中性粒子の運動エネルギーは
K＝½mₙv²＝½(1.67×10⁻²⁷)(3.9×10⁷)²≒1.27×10⁻¹² J
1 MeV＝1.6×10⁻¹³ Jより
K＝(1.27×10⁻¹²)/(1.6×10⁻¹³) MeV≒7.9 MeV
［補足］静止した同じ質量の物体に正面弾性衝突すると、入射粒子は停止し、標的粒子が入射速度を引き継ぐ。よって、今回は陽子の反跳速度が中性粒子の入射速度に等しくなる。
(9) 核反応後の中性子と炭素原子核の運動エネルギーの総和は
5.7＋5.3＝11.0 MeV
(8)より、中性粒子の運動エネルギーは7.9 MeVであり、総和の11.0 MeVを超えない。
よって、中性粒子仮説は、エネルギー保存則によって禁止されるものではない。
［補足］これはエネルギー保存則から得られる必要条件を確認しただけであり、実際に反応が起こりうるかを判断するには、運動量保存則も考慮する必要がある。
