真空中で、電子銃から飛び出した電子の運動を調べる。
電子の電気量の大きさを e、質量を m とし、重力の影響は無視できるものとする。
まず、静止していた電子を電位差 V₀ で加速したところ、電子は速さ v₀ となった。
(1) 電子の速さ v₀ を e、m、V₀ を用いて表せ。
次に、この電子を間隔 d の水平な2枚の平行金属板の間に水平方向に入射させる。
上側の金属板の電位を下側より V だけ高くすると、金属板間には一様な電場が生じた。
(2) 金属板間の電場の強さ E を V、d を用いて表せ。
また、電場の向きと、電子が電場から受ける力の向きと大きさをそれぞれ答えよ。
平行金属板の水平方向の長さを l とする。電子は金属板の中央の高さから速さ v₀ で水平に入射し、金属板に衝突することなく通過した後、電場のない領域を進み、金属板の右端から水平距離 L だけ離れたスクリーン（蛍光面）に到達するものとする。
(3) 電子がスクリーン上で、電場を加えない場合の到達点から鉛直方向にずれる距離を Y とする。
Y を e、E、m、v₀、l、L を用いて表せ。
電子の比電荷 e/m を測定するため、同じ速さ v₀ の電子を再び平行金属板間に入射させる。
このとき、電子は紙面上を左から右へ進むものとする。
平行板間の電場に加えて、一様な磁場を加える。磁束密度の大きさを B とする。
(4) 電子が曲がることなく直進するためには、磁場をどの向きに加えればよいか。
また、このときの電子の速さ v₀ を E、B を用いて表せ。
(5) (3)、(4)の結果を用いて、電子の比電荷 e/m を E、B、Y、l、L を用いて表せ。
(6) E＝4.0×10⁴ V/m、B＝1.0×10⁻³ T、l＝5.0×10⁻² m、L＝1.5×10⁻¹ m のとき、電子は直進した。
また、磁場を加えずに電場だけを加えたとき、スクリーン上でずれた距離は Y＝3.9×10⁻² m であった。
比電荷 e/m を有効数字2桁で求めよ。
用語
気体放電
気体中に高い電圧を加えると、気体が電離して電流が流れる現象。
真空放電
気体の圧力を低くした放電管に高い電圧を加えると、気体中に電流が流れ、気体の種類に特有の色の光を発する現象。
陰極線
真空放電の際に陰極から出る電子の流れ（電子線）。
電場や磁場で軌道が曲がることから、負電荷をもつ粒子の流れであることがわかった。
比電荷
粒子の電気量の大きさ e [C] と質量 m [kg] の比 e/m。
電子では、
e/m ≒ 1.76×10¹¹ C/kg
である。 貼り付けたテキスト（1）
解答
(1)
電子が電位差 V₀ で加速されるとき、電場が電子にする仕事は eV₀ である。
エネルギー保存則より、
eV₀＝(1/2)mv₀²
したがって、
v₀＝√(2eV₀/m)
(2)
平行板間の電場の強さは、
E＝V/d
上側の金属板の電位が高いから、電場の向きは鉛直下向きである。
電子は負電荷をもつから、電子が電場から受ける力は鉛直上向きで、その大きさは eE である。
(3)
電子が平行板間を通過する時間を t₁ とすると、
t₁＝l/v₀
電子が電場から受ける力の大きさは eE なので、鉛直方向の加速度の大きさは、
a＝eE/m
平行板を出るまでの鉛直方向の変位 y₁ は、
y₁＝(1/2)at₁²
＝eEl²/(2mv₀²)
平行板を出るときの鉛直方向の速度 vᵧ は、
vᵧ＝at₁
＝eEl/(mv₀)
平行板を出てからスクリーンに到達するまでの時間 t₂ は、
t₂＝L/v₀
この間の鉛直方向の変位 y₂ は、
y₂＝vᵧt₂
＝eElL/(mv₀²)
よって、
Y＝y₁＋y₂
＝eEl²/(2mv₀²)＋eElL/(mv₀²)
したがって、
Y＝eEl/(mv₀²) × (L＋l/2)
平行板間では、電子は水平方向には力を受けないため、水平方向には速さ v₀ の等速運動をする。
よって、平行板の長さ l を速さ v₀ で割ることで、平行板間を通過する時間が求められる。
一方、鉛直方向には電場から大きさ eE の力を受けるため、初速度0の等加速度運動をする。
運動方程式 ma＝eE から鉛直方向の加速度を求めることができる。
これは、力学で学習した水平投射と同様に、水平方向と鉛直方向の運動を分けて考える問題である。
平行板を出ると電場がなくなるため、その後は平行板を出た瞬間の速度で等速直線運動する。
よって、その後の鉛直方向の変位を求めるには、平行板を出た瞬間の速度の y 成分 vᵧ を求めればよい。
本問で利用する基本関係は次の通りである。
等加速度運動：
v＝u＋at
y＝ut＋(1/2)at²
電気量の大きさ q [C] の粒子を電位差 V₀ [V] で加速するとき、電場がする仕事の大きさは qV₀。
一様な電場では、
V＝Ed
電気量の大きさ q [C] の粒子が電場 E [V/m] から受ける力の大きさは、
F＝qE
(4)
電子が電場から受ける力は鉛直上向きなので、電子を直進させるには、磁場から受ける力が鉛直下向きになればよい。
電子は負電荷をもつから、加えるべき磁場の向きは紙面の手前から奥向きである。
電子が直進するとき、電場による力と磁場によるローレンツ力の大きさが等しいから、
eE＝ev₀B
したがって、
v₀＝E/B
電場 E による力の大きさは qE、速度 v と磁場 B が垂直なときのローレンツ力の大きさは qvB である。
両者が逆向きで大きさが等しいとき、合力が0となり、電子は直進する。
磁場による力 F の向き、磁場 B の向き、電流 I の向きは、フレミングの左手の法則で判断できる。
左手の親指、人差し指、中指を互いに垂直にすると、それぞれ力 F、磁場 B、電流 I の向きを表す。
ただし、電子は負電荷をもつため、電流の向きは電子の運動方向と逆向きであることに注意する。
本問ではローレンツ力 ev₀B が鉛直下向きで、電子が右向きに進むから、磁場 B の向きは紙面奥向きである。 貼り付けたテキスト（1）
(5)
(3)より、
Y＝eEl/(mv₀²) × (L＋l/2)
したがって、
e/m＝Yv₀²/{El(L＋l/2)}
(4)の
v₀＝E/B
を代入すると、
e/m＝YE/{B²l(L＋l/2)}
(6)
(5)より、
e/m＝YE/{B²l(L＋l/2)}
数値を代入すると、
e/m
＝(3.9×10⁻²)(4.0×10⁴)
÷{(1.0×10⁻³)²(5.0×10⁻²)(1.5×10⁻¹＋2.5×10⁻²)}
＝1.78…×10¹¹ C/kg
したがって、有効数字2桁で、
e/m＝1.8×10¹¹ C/kg
