フランクとヘルツは1914年、水銀蒸気中を運動する電子と水銀原子の衝突を調べる実験を行い、原子のエネルギー準位が量子化されていることを実験的に確かめた。
【実験装置と原理】
希薄な水銀蒸気を封入した放電管内に、陰極K、格子G、陽極Aを設置する。
陰極Kから出た電子は、加速電圧Vで加速され、水銀原子と衝突しながら格子Gへ向かう。
格子Gと陽極Aの間には、電子の進行を妨げる向きに小さな逆電圧V₀を加える。
電子が水銀原子と衝突せずに格子Gに到達した場合、電子の運動エネルギーはeVとなる。
格子Gを通った電子のうち、逆電圧に打ち勝つ運動エネルギー（eV₀より大）をもつ電子が陽極Aに到達し、陽極電流を生じる。
【電子と水銀原子の2種類の衝突】
弾性衝突：水銀原子とのエネルギーの授受はほぼなく、運動エネルギーはほぼ変化しない。
非弾性衝突：水銀原子にエネルギーを与えて励起させ、運動エネルギーが大きく減少する。
【加速電圧と陽極電流の関係・エネルギー準位の量子化】
水銀原子の基底状態から最初の励起状態への励起エネルギーは約4.9 eVである。
電子の運動エネルギーが4.9 eV未満なら、電子は水銀原子を励起できず、弾性衝突のみを行う。
一方、4.9 eV以上になると、電子は非弾性衝突によって水銀原子を励起できるようになり、その際、電子の運動エネルギーは約4.9 eV減少する。
加速電圧が4.9 Vを超えると、格子G付近で非弾性衝突して運動エネルギーを失い、十分に再加速されず逆電圧V₀に打ち勝てない電子が増えるため、陽極電流が減少する。
さらに加速電圧を増加させると、電子は衝突後も再び加速され、陽極電流は増加する。
しかし、1つの電子が2回、3回と非弾性衝突を起こせるようになると、電流は再び減少する。
このため、陽極電流は加速電圧の増加に伴って増減を繰り返し、極大と極小が現れる。
陽極電流の極大はほぼ一定の電圧間隔で現れ、水銀ではその間隔が約4.9 Vとなる。
これは、水銀原子が約4.9 eVという特定の大きさのエネルギーを吸収することを示す。
この実験は、原子のエネルギー準位が連続的ではなく、とびとびの値をとるという、ボーアの原子模型におけるエネルギー準位の量子化を支持する証拠となった。
【問題】
希薄な水銀蒸気を封入した放電管内で、陰極Kから放出された電子を加速電圧Vにより加速し、格子Gを通過した電子を陽極Aで集める。
格子Gと陽極Aの間には、電子の進行を妨げる向きに逆電圧V₀が加えられている。
陰極Kから放出される電子の初速度は無視でき、電子の電気量の大きさをeとする。
水銀原子は基底状態にあり、電子との非弾性衝突によって励起エネルギーΔE=4.9 eVを受け取るものとする。衝突による水銀原子の反跳は無視する。
また、電子の運動方向は変化せず、非弾性衝突では電子の運動エネルギーがちょうどΔEだけ減少するものとする。
(1) 水銀原子との衝突がない場合、格子Gに到達した電子の運動エネルギーをe、Vを用いて表せ。また、逆電圧V₀に打ち勝って陽極Aに到達するための加速電圧Vの条件をV₀を用いて表せ。
(2) 電子が水銀原子を初めて励起できるとき、衝突直前の電子の運動エネルギーは最小で何eV必要か。また、それに対応する最小の加速電圧を求めよ。
(3) 加速電圧Vを徐々に増加させると、陽極電流は増減を繰り返し、約4.9 V間隔で極大となった。非弾性衝突によって陽極電流が減少する理由を説明せよ。また、この実験結果から水銀原子のエネルギー準位について何がわかるか説明せよ。
(4) 電子が格子Gに到達するまでに水銀原子を2回励起したとする。格子Gにおける電子の運動エネルギーKをe、V、ΔEを用いて表せ。また、加速電圧V=12.0 V、逆電圧V₀=2.0 Vのとき、この電子が陽極Aに到達できるかを判定せよ。
(5) 水銀原子が励起状態から基底状態に戻るとき、エネルギーΔE=4.9 eVの光子を放出するとする。この光子の波長λを有効数字2桁で求めよ。ただし、プランク定数をh=6.6×10⁻³⁴ J·s、光速をc=3.0×10⁸ m/s、電気素量をe=1.6×10⁻¹⁹ Cとする。
【解答】
(1) 陰極Kから格子Gまでの間に電子が電場から受ける仕事はeVであるから、格子Gにおける電子の運動エネルギーはeV。
格子Gから陽極Aまでの間に逆電圧V₀によって運動エネルギーがeV₀減少する。
陽極Aに到達するためにはeV>eV₀。よってV>V₀。
［補足：電位差と電気的位置エネルギー］
電気量q［C］の粒子が電位差ΔV［V］の間を移動したとき、電気的位置エネルギーの変化量の大きさは|qΔV|［J］である。
電子の電気量は−eであるから、電位の高い方向へ移動すると電気的位置エネルギーが減少し、その分だけ運動エネルギーが増加する。逆に、電位の低い方向へ移動すると運動エネルギーが減少する。
(2) 水銀原子の励起には、励起エネルギーΔE以上の運動エネルギーをもつ電子が必要である。
よって、必要な最小の運動エネルギーは4.9 eV。
電子1個が4.9 eVの運動エネルギーを得るために必要な最小の加速電圧はV=4.9 V。
［補足：電子ボルト（eV）］
電子ボルト（eV）とは、電子1個が1 Vの電位差で加速されるときに得るエネルギーの単位である。
電気素量をeとすると、1 eV=e×(1 V)=1.6×10⁻¹⁹ J。
電気量の大きさがeの電子が加速電圧Vで加速されたとき、得る運動エネルギーはeVである。
例えば、4.9 Vで加速された電子は、4.9 eVの運動エネルギーを得る。
このように、電圧の数値（V単位）と、電子1個の運動エネルギーの数値（eV単位）は等しい。
(3) 電子が水銀原子と非弾性衝突すると、電子の運動エネルギーが約4.9 eV減少する。
特に格子G付近で非弾性衝突すると、電子は十分に再加速されずに格子Gを通るため、逆電圧V₀に打ち勝てず、陽極Aに到達できない電子が増加して陽極電流が減少する。
また、極大の間隔が約4.9 Vであることは、電子が水銀原子を1回励起するたびに約4.9 eVの運動エネルギーを失うことを示している。
よって、水銀原子には基底状態より約4.9 eV高い励起準位が存在し、原子のエネルギー準位は連続的ではなく、とびとびの値をとることがわかる。
(4) 非弾性衝突1回につき電子の運動エネルギーはΔEだけ減少するから、2回衝突した後の格子Gにおける運動エネルギーはK=eV−2ΔE。
V=12.0 Vのとき、格子Gにおける電子の運動エネルギーは
K=12.0 eV−2×4.9 eV=2.2 eV。
逆電圧V₀=2.0 Vによる運動エネルギーの減少量はeV₀=2.0 eVである。
K=2.2 eV>eV₀=2.0 eVより、陽極Aに到達できる。
(5) 水銀原子が放出する光子のエネルギーはΔE=hc/λ。
1 eV=1.6×10⁻¹⁹ Jより、ΔE=4.9 eV=4.9×(1.6×10⁻¹⁹) J。
よって、λ=hc/ΔE={(6.6×10⁻³⁴)×(3.0×10⁸)}/{4.9×(1.6×10⁻¹⁹)}=2.5×10⁻⁷ m。
［補足：紫外線］
可視光の波長は約3.8×10⁻⁷～7.7×10⁻⁷ mであり、2.5×10⁻⁷ m（250 nm）の光は紫外線である。
