電気量 q、質量 m の正イオンを、質量分析器を用いて分析する。まず、正イオンを互いに垂直な一様な電場と一様な磁場が存在する領域（速度選別器）に入射させる。
電場の強さを E、磁束密度の大きさを B₁ とし、正イオンの速度は電場と磁場の両方に垂直であるとする。電場による力と磁場による力は互いに逆向きである。
(1) この領域を直進して通過する正イオンの速さ v を E、B₁ を用いて表せ。
このように一定の速さ v をもつ正イオンだけを選び出し、次に磁束密度の大きさ B₂ の一様な磁場中に入射させる。磁場は正イオンの速度に垂直であり、正イオンは半径 r の円運動をした。重力の影響は無視できるものとする。
(2) 円運動の半径 r を m、q、v、B₂ を用いて表せ。
(3) 正イオンの比電荷 q/m を E、B₁、B₂、r を用いて表せ。
次に、同じ元素の2種類の同位体からなる1価の正イオンを同じ質量分析器に入射させた。2種類のイオンの質量を m₁、m₂ とし、速度選別器を通過した後の速さは等しいとする。磁場 B₂ 中で描く円軌道の半径をそれぞれ r₁、r₂ とする。
(4) m₂/m₁ を r₁、r₂ を用いて表せ。
次に、質量 m₁、電気量 +e のイオンと、質量 m₂、電気量 +2e のイオンが速度選別器を通過した後、同じ速さ v で磁場 B₂ 中に入射したとする。
(5) 2種類のイオンが同じ半径の円軌道を描くための m₁ と m₂ の関係を求めよ。
(6) (5)を踏まえ、この質量分析器で円軌道の半径から直接求められるのは質量 m そのものではないことがわかる。円軌道の半径から直接求められる物理量を答えよ。
今度は速度選別器を用いず、静止していた電気量 q、質量 m の正イオンを電位差 V で加速した後、磁束密度の大きさ B の一様な磁場に垂直に入射させたところ、正イオンは半径 r の円運動をした。イオンの速さは光速に比べて十分小さいものとする。
(7) q/m を V、B、r を用いて表せ。
(8) 1価の同位体イオンを、速度選別器で同じ速さにして磁場中に入射させる場合と、(7)のように静止状態から同じ電位差 V で加速して磁場中に入射させる場合について、円運動の半径 r がイオンの質量 m にどのように依存するか答えよ。
【解答】
(1)
電場から受ける力と磁場から受けるローレンツ力の大きさが等しければよいから
qE = qvB₁
∴ v = E/B₁
［補足］
電気量 q の正電荷は、電場 E と同じ向きに大きさ qE の力を受ける。
また、正電荷が速さ v で磁場中を運動し、速度の向きと磁場 B の向きが垂直なとき、磁場から受けるローレンツ力の大きさは qvB である。
磁場 B の向きは問題で問われることもあるので、自分で判断できるようにしておく必要がある。
ローレンツ力 F の向き、磁場 B の向き、電流 I の向き（正電荷の運動方向）は、フレミングの左手の法則で判断できる。
左手の親指、人差し指、中指を互いに垂直にすると、それぞれ力 F、磁場 B、電流 I の向きを表す。
電場による力と逆向きのローレンツ力を生じさせるように、磁場 B₁ の向きを定める。
本図のように、正電荷が右向きに運動し、電場による力が上向きの場合、磁場 B₁ は紙面の手前向き（裏→表）にかける必要がある。
(2)
ローレンツ力が向心力となるから、円運動の方程式は
mv²/r = qvB₂
よって
r = mv/(qB₂)
［補足］
イオンが磁場中に入ると、進行方向に垂直なローレンツ力を受ける。
ローレンツ力は常に進行方向に垂直にはたらくため、速さを変えずに進行方向だけを変える。
この力が常に軌道の中心を向くことで向心力となり、イオンは等速円運動を行う。
(3)
(2)より
q/m = v/(B₂r)
(1)の v = E/B₁ を代入すると
q/m = E/(B₁B₂r)
(4)
2種類のイオンはいずれも1価であり、速度 v と磁束密度 B₂ も共通である。
(2)より
r = mv/(eB₂)
であり、r は m に比例するから
m₂/m₁ = r₂/r₁
(5)
(2)より、円軌道の半径は
r = mv/(qB₂)
2種類のイオンが同じ半径の円軌道を描くための条件は
m₁v/(eB₂) = m₂v/(2eB₂)
よって
m₂ = 2m₁
(6)
(2)を変形すると
q/m = v/(rB₂)
よって、速度 v と磁束密度 B₂ が定まっているとき、円軌道の半径 r から直接求められる物理量は
比電荷 q/m
［補足］
(5)より、同じ半径の円軌道を描いても質量が同じとは限らないため、円軌道の半径 r だけから質量 m を直接求めることはできない。
なお、比電荷 q/m の代わりに、その逆数である質量電荷比 m/q を用いて表すこともある。
(7)
静止していた正イオンを電位差 V で加速すると、電場がした仕事 qV が運動エネルギーとなるから
qV = ½mv²
また、磁場中では
mv²/r = qvB
より
v = qBr/m
よって
qV = ½m(qBr/m)²
= q²B²r²/(2m)
より
q/m = 2V/(B²r²)
(8)
1価のイオンであるから、q = e である。
〈速度選別器によって同じ速さにそろえる場合〉
(2)より
r = mv/(eB)
v、B は一定であるから、
r は m に比例する。
〈同じ電位差 V で加速する場合〉
(7)より
e/m = 2V/(B²r²)
よって
r = (1/B)√(2mV/e)
V、B は一定であるから、
r は √m に比例する。
