曲線の長さ(媒介変数表示・陽関数表示・極座標表示)

スポンサーリンク

図の右下のg(β)はf(β)の誤りです。

基本的に公式を暗記しておけば済むが,\ 導出過程を大まかに述べておく. Δ tが小さいとき,\ 三平方の定理より\ Δ L{(Δ x)²+(Δ y)²}\ と近似できる. 次の曲線の長さ$L$を求めよ. いずれも曲線を図示したりする必要はなく,\ 公式に当てはめて淡々と積分計算すればよい. 実は,\ 曲線の長さを問う問題では,\ 同じ関数ばかりが出題される. 根号をうまくはずせて積分計算できる関数がかなり限られているからである. また,\ {根号をはずすと絶対値がつく}ことに注意する.\ 一般に,\ {A²}=A}\ である. {積分区間をもとに絶対値もはずして積分計算}することになる. 2倍角の公式\ sin2θ=2sinθcosθ\ の逆を用いて次数を下げる. うまく2乗の形が作れることに気付かなければならない. 1cosθ}\ の積分}の仕方を知っていなければならない.   {半角の公式\ sin²{θ}{2}={1-cosθ}{2},cos²{θ}{2}={1+cosθ}{2}\ を逆に用いて2乗の形にする.}   なお,\ 極座標表示の曲線の長さの公式は受験では準裏技的な扱いである.   記述試験で無断使用すると減点の可能性がないとはいえないので注意してほしい.   {媒介変数表示に変換}して求めるのが正攻法である.   つまり,\ x=rcosθ=2(1+cosθ)cosθ,y=rsinθ=2(1+sinθ)sinθ\ とすればよい.   回りくどくやや難易度が上がるこの方法は,\ カージオイドの長さの項目で取り扱っている.
タイトルとURLをコピーしました