不等式で表された立体の体積、直交する円柱の共通部分の体積

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x0,x²+y²1,0 z y²\ で表される立体の体積Vを求めよ.$ 立体の形状をイメージしようとするのは無理があるし,\ その必要もない. ある平面で切断し,\ その切断面の面積を積分すれば体積が求まる. このとき,\ どのような平面で切断するかが最大のポイントである. 必然的にいずれかの軸に垂直な平面で切断することになる. {「次数が高い文字」「出現回数が多い文字」の軸を選ぶと最も切り口が単純な図形になる.} 要は,\ {最もうっとうしい文字の軸に垂直な平面で切断}する. すると,\ その平面上ではうっとうしかった文字を定数扱いすることになるから簡単になる. ここでは,\ 2乗が2回も出てくるy軸に垂直な平面で切断する. まず{平面y=tで切断}し,\ その断面積を求める.\ それをtの定義域内で積分すれば体積が求まる. 切り口の形状をイメージしようとする必要もない.\ {純粋に数式だけをみて切断面を考える.} 例として平面y=12\ における切断面を考える. y=12\ を代入すると,\ x0,x²34,0 z14\ である. x²34\ は-{3}{2} x{3}{2}\ であり,\ x0と合わせて\ 0 x{3}{2}\ となる. 結局,\ 平面y=12におけるxz断面は\ 0 x{3}{2},0 z14\ が表す図形(長方形)となる. このような数式的処理により,\ イメージせずとも切断面とその面積がわかるわけである. 平面y=tにおける切断面も例と全く同様の処理によって長方形であることがわかる. とにかく,\ {tは定数扱い}であることに注意して考えればよい. 積分に備えて{tの範囲}を確認する.\ {正}\ より,\ -1 t1\ が導かれる. 積分区間が対称になるので,\ {偶関数・奇関数}を考慮する. f(t)=t²{1-t²}\ とすると,\ f(-t)=(-t)²{1-(-t)²}=t²{1-t²}=f(t)\ より,\ 偶関数である. また,\ {a²-x²}\ を含む定積分では\ x=asinθ\ と置換するのが基本である. よって,\ t=sinθ\ と置換する.\ このとき,\ dt=cosθdθ\ となる. 置換したと同時に積分区間が変化することを忘れない. 2倍角の公式\ sin2θ=2sinθcosθ\ を逆に用いて次数を下げる. さらに,\ cos2θ=1-2sin²θ\ を逆に用いて次数を下げる. 以上のようにして,\ 幾何的なイメージがなくとも純粋な数式的処理で体積が求まるのである. x軸に垂直な平面で切断$]   試験では非推奨だが,\ 平面x=tで切断する場合も考えるとよい演習になる. {x=tを代入して数式的にyz断面を考える}と,\ {放物線とy軸間の面積}となる. よって,\ 断面積を求める時点でまず積分計算が必要になる.\ 対称性を生かして求める. 後はtの範囲を確認してから断面積を積分して体積を求めればよい. 置換後に2倍角の公式\ cos2θ=2cos²θ-1\ を逆に用いた次数下げを2回行う必要がある. うっとうしい文字yを変数のまま残したがために断面が複雑になり,\ 面倒なことになったわけである. z軸に垂直な平面で切断$] z軸に垂直な平面で切断する方針は断面が最も厄介になる. 2次のxとyが変数のまま残るからである.\ ただし,\ 演習には最適である. x,\ yに関する不等式が表す図形は図のようになるが,\ この断面積はtで表すことができない. そこで,\ {扇形の中心角をθと設定}して表すことになる. 半径1,\ 中心角θの扇形の面積から直角三角形(底辺の長さsinθ,\ 高さcosθ)の面積を引く. 対称性を利用すると上側の面積を2倍すれば済む. さて,\ 積分変数はtなので,\ {tとθの関係}を求める必要がある. tが直角三角形の高さに等しいことから,\ t=cosθ\ が導かれる. また,\ {tの範囲}も確認しておく.\ t y²とy²1より,\ t1である. θをtで表すことはできないから,\ 逆にdtをdθに変換する.\ 要は{置換積分}である. θsin2θ\ は部分積分,\ sin²2θ\ はcos2θ=1-2sin²θ\ を逆に用いて次数を下げる. x$軸を中心とする半径1の円柱と$y$軸を中心とする半径1の円柱の共通部分の体積$V$ を求めよ. {2つの円柱を不等式で表現}すると前問と同様の問題になる. ここで,\ x²+y²1は座標平面では円周と内部を表すが,\ 座標空間ではz軸中心の円柱を表す. zに関する条件(制限)がないため,\ z方向には自由に動けるからである. もし座標空間においてxy平面上の円を表したい場合,\ x²+y²1,\ z=0\ としなければならない. 円柱を表す本問では,\ 単純にy²+z²1\ (x軸中心),\ x²+z²1\ (y軸中心)とすればよい. 上図は途中で切断した円柱になっているが,\ 不等式が表すのは軸方向に無限に続く円柱である. zが2回出てくるので{z軸に垂直な平面で切断}すると,\ 断面が{正方形}になる. 積分区間が対称なので,\ {偶関数・奇関数}を考慮して積分する.
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