平面図形の回転体の体積

空間内の3点{P}(1,\ 1,\ 0),\ {Q}(-1,\ 1,\ 0),\ {R}(-1,\ 1,\ 2)を頂点とする{PQR}をz軸の$ $周りに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ.\           [神戸大]$   ${平面z=tとz軸,\ 線分PR,\ QRの交点をそれぞれA,\ M,\ Nとする.}$   z軸に垂直な平面で切断し,\ その断面積を積分して体積を求める. 立体の形状はイメージできなくてもよいが,\ {座標軸と{PQR}の位置関係}の把握が必要である. つまり,\ 座標空間上に{PQR}を図示できるかが問われる. 一般には座標空間上の図形の図示は困難だが,\ 本問は3点の座標が特徴的なので容易に図示できる. P,\ Q}がxy平面上の点}であること,\ x,\ y座標が等しいからQ}の真上に{R}がある}ことに着目する. さて,\ 平面図形と平面で切断すると,\ その断面は{線分}となる. よって,\ その{線分をz軸周りに回転させてできる図形の面積}を求めることになる. まず,\ {線分の両端の位置}を求める.\ 空間の直線と平面の交点なので,\ ベクトルを利用する. 2点{A}(a),\ {B}(b)を通る直線のベクトル方程式は p=(1-s)a+sb これで空間の直線の方程式の媒介変数表示が得た後,\ z=tとすると平面z=tとの交点となる. 1点{A}(a),\ 方向ベクトルdの直線のベクトル方程式\ p=a+sd\ を用いてもよい. これを用いると,\ OM}=OP}+sPR}=(1,\ 1,\ 0)+s(-2,\ 0,\ 2)=(1-2s,\ 0,\ 2s)\ と求まる. 結局,\ {線分{MN}は直線y=1の\ -1 x1-t\ の部分}であることがわかる. ただし,\ {QR}=2よりtは0 t2の範囲を動くから,\ -11-t1\ である. ここで,\ 本問において最も重要なポイントを確認する. 一般に,\ 回転軸と交わらない線分を回転させてできる図形は{ドーナツ型}である. そして,\ {外側の円の半径と内側の円の半径は,\ 回転軸と線分の最長距離と最短距離で決まる.} よって,\ 線分{MN}上で最も点{A}から遠い点と近い点がどこになるかを探ることになる. まず,\ {点{A}から最も遠くなるのは点{Nで,\ その距離は2である. {最も近い点は{M}のx座標1-tが0以上のときと0以下のときで変化する.} つまり,\ t1とt1で場合分けを要する. 1-t0のときは,\ A}から線分{MN}に垂線を下ろしたときが最短}で,\ その距離は1である. 一方,\ 1-t0のときはAM}が最短}で,\ 三平方の定理よりその距離は\ {(1-t)²+1}\ となる. {A}から直線{MN}に垂線を下ろすと線分の範囲外になるので,\ {AM}が最短といえるわけである. ここまでできれば後は計算するだけである.
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