面積の基本①(x軸方向への定積分)

(3)の答えは2√3π/3の誤りですm(_ _)m

次の曲線または直線で囲まれた部分の面積$S$を求めよ. の共通部分$  いずれの関数も原点対称であるから,\ 求める面積も原点対称}である.   数II}と同様,\ まず図示して求める面積を確認する. 面積を求める上で重要なのは{共有点と上下関係}だけである. 特別な場合を除き,\ 頂点や極値などを求める必要はない.\ 最低限の情報を確認し,\ 素早く図示する. 本問は中学レベルの関数なので,\ 共有点の座標を求めることも含め,\ 30秒ほどで図示したい. 後は面積を計算するだけだが,\ 一般に数III}の面積計算は数II}よりもはるかに大変である. {「対称性・周期性の利用」「単純図形(三角形・四角形・円など)の利用」}により,\ 計算量を減らそう. 時間の節約にもなり,\ 計算ミスを減らすことにもつながる. 原点対称であるから,\ {第1象限の面積を求めて2倍}する. また,\ この面積は\ 三角形{OAB}+(斜線部分)-{OCD\ で求まるため,\ 定積分計算は\ 1x\ のみで済む. 三角関数が絡む面積もよく出題される. 面積そのものよりも,\ {「三角関数のグラフの図示」「三角関数の積分計算」}が問われている. 三角関数のグラフは,\ 三大要素{「周期」「振幅」「位相」}を確認して素早く図示する. y=cos2xのグラフはy=cos xをx軸方向に12にしたものであるから,\ 周期が\ π\ となる. 両グラフは,\ 0 x πではx=12π\ に関して対称,\ π x2π\ ではx=32π\ に関して対称である. 結局,\ {12π x32π\ の面積を2倍}して求めることができる. このような基本的な問題の演習では,\ 単に解けるか否かというだけでなくスピードも意識しよう.    2つの楕円は原点中心であるから,\ それぞれ$x軸とy軸に関して対称}である.$    また,\ 2つの楕円同士は直線$y=x$に関して対称}である.    よって,\ 求める面積は最下図の斜線部分の8倍である.     {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ は,\ 原点中心,\ {頂点(a,\ 0),\ (0,\ b)の楕円}である. また,\ 一般に{xとyを入れ替えた関数は直線y=xに関して対称なグラフ}になる. 斜線部分は{OAB}と水色部分に分けて求める. x²+{y²}{3}=1\ より\ y={3(1-x²)}\ で,\ このうち楕円の上側を表すのは\ y={3(1-x²)}\ である. よって,\ これを区間\ {3}{2} x1\ で定積分すると水色部分の面積が求まる. ここで,\ {x²の係数を無理矢理にでもくくり出す}と,\ {∫α}{β}{a²-x²}dx}\ の形に変形できる. そして,\ この定積分は図形的には{円の面積の一部}を表す. y={1-x²}\ の両辺を2乗して整理すると\ x²+y²=1\ である. よって,\ ∫\frac{3}{2{1}{1-x²}dx\ は{半径1の半円の\ {3}{2} x1\ の面積}である. この部分の面積は,\ 半径1,\ 中心角30°={π}{6}\ の扇形の面積から三角形の面積を引けばよい. なお,\ 扇形の面積の公式は\ 12r²θ\ (θはラジアン)である. 以上のように,\ {楕円がらみの面積は必ず円の面積に帰着し,\ 定積分計算が必要ない.} これが本問の最大のポイントである. もし\ ∫\frac{3}{2{1}{3-3x²}dx\ を真面目に定積分しようとすると,\ x=sinθ\ として置換積分する羽目になる.
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