媒介変数表示で表される曲線で囲まれた部分の面積(リサジュー曲線)

媒介変数表示\ $ x=sin3θ y=sin4θ -.8zw}(0θ{π}{4})\ で表される曲線とx軸で囲まれた部分の$ $面積Sを求めよ.$ まずグラフを図示して面積の形状を確認する.\ 媒介変数表示関数のグラフの図示が問われる. {dx}{dθ},\ {dy}{dθ}\ は,\ それぞれθの変化に対するx方向,\ y方向の増減を表す.\ 5段の増減表を作成することで関数全体の動きがとらえられる. 例えば,\ 0θ{π}{8}\ ではx方向に→,\ y方向に↑であるから,\ 右斜め上方向に進むことになる. 実際には,\ 主要4点をとって滑らかに結めば済む.\ 目的は面積なので,\ 概形がわかればよい. 半角の公式を用いてθ={π}{8}\ におけるxの値も求めたが,\ 面積を求めるだけなら実は必要ない. ちなみに,\ 本問の曲線はリサジュー曲線の一部である. x方向に積分して面積を求めることを考える.\ つまり,\ {∫ydx}\ を計算すればよい. しかし,\ 2つの問題点が存在する. 1点目は,\ {x軸方向に単調に増加するグラフではない}ことである. このため,\ {x軸から見て上側のグラフy₁と下側のグラフy₂に分割して考える}必要がある. まず左上図の面積\ ∫y₁dx\ を求め,\ そこから\ 右上図の面積\ ∫\frac{2}{2{1}y₂dx\ を引くことになる. {xとyが媒介変数で表されているために単純には計算できない}ことが2点目の問題である. わかりやすくするために一旦y₁とy₂としたが,\ どちらもsin4θであるからyに戻す. つまり,\ ∫sin4θdx-∫\frac{2}{2{1}sin4θdx\ を計算することになる. sin4θをxで表すことができれば話は早いが,\ 本問では簡単にはいかない. また,\ 問題によってはそもそも不可能な場合もある. この場合,\ {dxをdθに変換}するのが有効である.\ これは{置換積分}することに相当する. つまり,\ {dx}{dθ}=3cos3θ\ より,\ dx=3cos3θdθ\ とすればよい. 上の解答では簡単にするためにyや{dx}{dθ}のまま記述した. dθにした時点で{積分区間が変わる}ことにも注意する. さらに,\ 次のようにして{2つの定積分を合体}できる. {∫0}{π/6-∫π/4{π/6=∫0}{π/6+∫π/6{π/4=∫0}{π/4} 合体の必然性は大学範囲なので,\ 高校生がいきなり\ ∫0}{π/4y{dx}{dθ}dθ\ と記述することは許されない. 以上ができれば後は定積分計算するだけである. 本問では,\ 積和の公式\ sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α-β)}\ を利用することになる.
タイトルとURLをコピーしました