直線の回転体の体積(回転一様双曲面)

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空間内の2点{A}(1,\ 0,\ 0),\ {B}(0,\ 1,\ 1)を通る直線lをz軸の周りに1回転してできる$ $図形をMとする.$                       [北海道大・改]  $図形Mとyz平面が交わって得られる図形の方程式を求めよ.$  $図形Mと2平面z=0とz=1で囲まれた立体の体積Vを求めよ.$    $平面z=tと直線lの交点は (1-t,\ t,\ t)}$    $平面z=t上で交点が描く円の方程式は x²+y²}=(1-t)²+t²=1-2t+2t²}$    $図形Mを表す方程式は x²+y²=1-2z+2z²}$ $ 求める図形の方程式は {x=0,y²=1-2z+2z²}$}  $平面z=tにおける立体の断面積\ S(t)=π(1-2t+2t²)} 立体の形状をイメージする必要はなく,\ {立体の方程式も面積も断面を考える}ことで求められる. 後で述べるが,\ 直線の回転体だからといって{円錐台になるとは限らない}ので注意して欲しい. z軸周りの回転体であるから,\ z軸に垂直な平面で切断する. {直線を平面で切断するとその切り口は点}であり,\ この点をz軸周りに回転すると円を描く. 以上を踏まえた上で,\ まずの方程式を求める. 立体の方程式を求めるには,\ {切断面における方程式を求めた後に媒介変数を消去}すればよい. まず平面z=tで切断したときの直線lと平面の交点を求めるため,\ {直線lの方程式}を求める. 空間の直線の方程式を求めるときは,\ {ベクトル方程式}の利用が有効である. 2点{A}(a),\ {B}(b)を通る直線のベクトル方程式は p=(1-s)a+sb これを用いると,\ 空間の直線の方程式の媒介変数表示が得られる. なお,\ 空間の直線の方程式を求める方法は1つではない. 1点{A}(a),\ 方向ベクトルdの直線のベクトル方程式は p=a+sd これを用いると,\ OP}=OA}+sAB}=(1,\ 0,\ 0)+s(-1,\ 1,\ 1)=(1-s,\ s,\ s)\ として求められる. また,\ 媒介変数消去型の空間の直線の方程式の公式を用いて求めることもできる. 点(x₀,\ y₀,\ z₀)を通り,\ 方向ベクトル(l,\ m,\ n)の直線の方程式は {x-x₀}{l}={y-y₀}{m}={z-z₀}{n} 方向ベクトル\ AB}=(-1,\ 1,\ 1)\ より {x-1}{-1}={y-0}{1}={z-0}{1}   よって-x+1=y=z 直線\ -x+1=y=zと平面z=t\ の交点は,\ -x+1=y=t\ より (x,\ y,\ z)=(1-t,\ t,\ t) {半径がz軸と交点の距離}であることに着目して平面z=t上に描かれる円の方程式を求める. 媒介変数tを用いた円の方程式と平面z=tの2式から{媒介変数tを消去}する. 媒介変数tを用いない立体の方程式が求まり,\ {x=0としてyz平面で切断した図形の方程式を得る.} 立体Mとyz平面の交線を答えるのであるから,\ x=0を忘れてはならない. x=0がなければ,\ x方向に無限に続く面\ y²=1-2z+z²\ を表すことになる. さて,\ y²=1-2z+z²\ は次のように変形すると{双曲線}であることがわかる. [-.3zh] y²-2z²+2z=1 y²-2(z-12)²=12 2y²-4(z-12)²=1 {y²}{12}-{(z-12)²}{14}=1 これは,\ {立体Mのyz平面における断面が双曲線}であることを意味している(下図の赤線). ができていればはおまけ程度である.\ 断面積を積分するだけである. 様々な直線の回転体   回転一様双曲面}(${z}$軸とねじれた直線の回転面};切断面は双曲線})}   円錐面}(${z}$軸と交わる直線の回転面};切断面は三角形})}   円錐台面}(${z}$軸と同一平面内にあり,\ ${z}$軸と平行でない直線の回転面};切断面は台形})
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