極方程式で表された関数の面積(扇形分割積分) 正葉曲線r=sin2θ

記述式試験で公式として無断使用して良いかは微妙である。

極方程式$r=f(θ)$で表された関数で作られる図形の面積を求めることを考える.  基本とされるのは,\ 媒介変数表示\ $ x=rcosθ=f(θ)cosθ y=rsinθ=f(θ)sinθ $-に変換して求める方法である.  しかし,\ 回りくどい上に計算量が大幅に多くなる.  極方程式のまま面積を求められる扇形分割積分を習得しよう.  $y=f(x)$では面積を長方形で近似したが,\ 極方程式では扇形で近似する.  角度が$Δθ$だけ変化したときに極Oと結ぶ線分の通過領域を$Δ S$とする.  この面積の変化量$Δ S$を扇形で評価する.  上図より,\ $(斜線部分の扇形(色塗り部分)(赤い扇形)$}である. $[半径r,\ 中心角θの扇形の面積 12r²θ 極方程式で表された関数を図示するには,\ 主要な点(本問は2点)をとってなめらかに結べばよい. θ={π}{4}\ はrが増加から減少に変わる点である. θ={π}{4}\ までは極{O}からの距離が増加,\ θ={π}{4}\ からは減少するのであるから,\ 上図となる. 積分は,\ 2倍角の公式\ cos2θ=1-2sin²θ\ の逆\ sin²θ={1-cos2θ}{2}\ を適用して次数を下げる.
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