減衰曲線の面積の和の極限 limΣ∫|y=e-xsinx|dx

lim[n→∞]Σ∫(k-1)π}{kπ}e^{-x}sin x}dx\ を求めよ.$ 様々な表現で問われるが,\ 要は{減衰曲線とx軸で囲まれた部分の面積の総和}を求める問題である. まずはそのことを見抜けるかが第1段階である. 「面積の和を求めよ」と直接的に問われる場合もあれば,\ 本問のように数式で問われる場合もある. どちらにせよ,\ そもそも\ {y=e^{-x}sin x\ のグラフを覚えているか}が重要である. 本問はグラフの図示が主題ではないので,\ 微分して正確なグラフを描こうとする必要はない. 概形をイメージできれば十分である.\ {y=sin xが\ y=e^{-x}\ ではさまれたグラフ}になる. 絶対値をつけると{x軸で折り返したグラフ}になるから,\ 定積分は図の面積を求めることに相当する. k=1のとき∫0}{π}より最左のコブの面積,\ k=2のとき∫π}{2π}より左から2番目のコブの面積を表す. よって,\ Σ\ をとることは,\ {n個のコブの面積の和を求める}ことに相当する. さらに\ lim[n→∞]をとってその和の極限,\ すなわち{無限個のコブの面積の総和}を求めるわけである. さて,\ 問題の意味が理解できても,\ 実際にどうやって求めるかが問題である. 特に重要なのが絶対値をはずすタイミングである. y=e^{-x}sin x}\ は常に正であるから,\ ∫e^{-x}sin x}dx=∫e^{-x}sin xdx}\ が成立する. つまり,\ {絶対値をはずした後で定積分する}ことも,\ 定積分した後で絶対値をはずすこともできる. 後者は自然な発想で解答できるが,\ 面倒で応用も利かない. やや高度ではあるが,\ 応用性の高い前者の解答を習得してほしい. 普通にy=e^{-x}sin x}の絶対値をはずそうとしても,\ 0 xπ,\ π x2π,\ で場合分けが要る. しかし,\ {置換積分}して場合分けをなくすとっておきの方法がある. 区間\ (k-1)π x kπ\ を平行移動し,\ {区間が\ 0 tπ\ になるように置換}する. つまり,\ x-(k-1)π=t\ とおくことになる.\ このとき,\ x=t+(k-1)π\ となる. まず,\ 指数関数e^{-{t+(k-1)π\ は明らかに正である. また,\ {sin{t+(k-1)π}=(-1)^{k-1}sin t}\ と変形できることは次の例からもわかるだろう. 0.96}{$sin t\ (k=1),sin(t+π)=-sin t\ (k=2),sin(t+2π)=sin t\ (k=3),sin(t+3π)=-sin t\ (k=4)$ そして,\ (-1)^{k-1=1\ である.\ さらに,\ 区間\ 0 tπ\ で\ sin t0\ より,\ sin t}=sin tである. 絶対値をはずした後,\ 積分変数tと無関係の部分を前に出す. e^{-t-(k-1)π}=e^{-t}e^{-(k-1)π} 結局,\ {(指数関数)(三角関数)型}の\ y=e^{-t}sin t\ の定積分に帰着する. {2回部分積分すると同形が出現する}ことを利用して求めるパターンである. この定積分は,\ 次のようにsinとcosのペアで考え,\ 微分から逆算して求めることも可能である.   (e^{-t}sin t)’=-e^{-t}sin t+e^{-t}cos t (e^{-t}cos t)’=-e^{-t}cos t-e^{-t}sin t Σ計算では,\ 変数kに関係しない部分を前に出す. e^{-kπ+π}=e^{-kπ}e^{π}=(e^{-π})^ke^π (e^{-π})^kの和,\ すなわち{初項e^{-π},\ 公比e^{-π},\ 項数nの等比数列の和}に帰着する. コブの面積は,\ 左から初項\ e^{π}12(e^{-π}+1) e^{-π}=12(e^{-π}+1),\ 公比e^{-π}\ の等比数列だったのだ. 最後,\ 単純に極限にとばせば完了である.0e^{-π}1\ より,\ {lim[n→∞](e^{-π})^n=0}\ である. 等比数列の和を経由せずとも,\ 無限等比級数の和の公式\ Σr^n={a}{1-r}( r1)を使うと速い. lim[k→∞]Σ(e^{-π})^k={e^{-π{1-e^{-π
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