x軸周りの回転体の体積(媒介変数表示)(リサジュー曲線)

媒介変数表示\ $ x=sin3θ y=sin4θ -.8zw}(0θ{π}{4})\ で表される曲線とx軸で囲まれた部分が$ [1.3zh] $x軸周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.$ まずグラフを図示して図形の形状を確認する.\ 媒介変数表示関数のグラフの図示が問われる. {dx}{dθ},\ {dy}{dθ}\ は,\ それぞれθの変化に対するx方向,\ y方向の増減を表す.\ 5段の増減表を作成することで関数全体の動きがとらえられる. 例えば,\ 0θ{π}{8}\ ではx方向に→,\ y方向に↑であるから,\ 右斜め上方向に進むことになる. 実際には,\ 主要4点をとって滑らかに結めば済む.\ 目的は面積なので,\ 概形がわかればよい. 半角の公式を用いてθ={π}{8}\ におけるxの値も求めたが,\ 面積を求めるだけなら実は必要ない. この曲線はリサジュー曲線の一部であり,\ 面積(媒介変数表示)で取り上げた問題と同じ曲線である. x軸周りの回転体なので,\ {必然的にx方向に積分}することになる.\ つまり,\ {π∫y²dx}\ を計算する. しかし,\ 2つの問題点が存在する. 1点目は,\ {x軸方向に単調に増加するグラフではない}ことである. このため,\ {x軸から見て上側のグラフy₁と下側のグラフy₂に分割して考える}必要がある. まず左上図が作る回転体の体積\ π∫{y₁}²dx\ を求め,\ そこから右上図\ π∫\frac{2}{2{1}{y₂}²dx\ を引くことになる. {xとyが媒介変数で表されているために単純には計算できない}ことが2点目の問題である. わかりやすくするために一旦y₁とy₂としたが,\ どちらもsin4θであるからyに戻す. つまり,\ π∫sin²4θdx-π∫\frac{2}{2{1}sin²4θdx\ を計算することになる. sin4θをxで表すことができれば話は早いが,\ 本問では簡単にはいかない. また,\ 問題によってはそもそも不可能な場合もある. この場合,\ {dxをdθに変換}するのが有効である.\ これは{置換積分}することに相当する. つまり,\ {dx}{dθ}=3cos3θ\ より,\ dx=3cos3θdθ\ とすればよい. 上の解答では簡単にするためにyや{dx}{dθ}のまま記述した. dθにした時点で{積分区間が変わる}ことにも注意する. さらに,\ 次のようにして{2つの定積分を合体}できる. {∫0}{π/6-∫π/4{π/6=∫0}{π/6+∫π/6{π/4=∫0}{π/4} 合体の必然性は大学範囲なので,\ 高校生がいきなり\ π∫0}{π/4y²{dx}{dθ}dθ\ と記述することは許されない. 以上ができれば後は定積分計算するだけである. まず,\ 2倍角の公式\ cos2θ=1-2sin²θ\ を逆に用いて次数を下げる. 展開した後,\ cos8θcos3θ\ に積和の公式\ cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α-β)}\ を適用する.
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