面積の基本②(y軸方向への定積分)

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y=f(x)とx軸}で囲まれた部分の面積}(左図) x=f(y)とy軸}で囲まれた部分の面積}(右図) {面積の形状や問題の設定}次第では,\ x軸方向よりも{y軸方向に定積分するほうが楽}である. 左図の面積の場合,\ 当然ながらx方向に定積分する. つまり,\ {微小面積ydx=f(x)dxをa→bで足し合わせる.} 右図の面積の場合,\ x軸方向に足そうとすると途中で関数が変化するため,\ 分割する必要が生じる. このような場合,\ y軸方向に定積分すると楽である. つまり,\ {微小面積xdy=f(y)dyをa→bで足し合わせる}ことになる. 次の曲線または直線で囲まれた部分の面積$S$を求めよ x軸方向への定積分は上下の関数が変わるx=1で分割する必要があるため,\ y軸方向に定積分する. 元々,\ {x軸に平行な直線間の面積はy軸方向の定積分が効果的}であることが多い. {x=の形に変形し,\ eからeまで定積分}すればよい. y軸から見て上側にあるのはx=2log y,\ 下側にあるのがx=log yである. よって,\ (上側の関数)-(下側の関数)=log y\ を定積分することになる. なお,\ ∫log ydy=ylog y-y+C\ は公式として利用した(暗記推奨). 一応x軸方向に定積分した場合の解答を示しておく. 複数のグラフを同一平面上に図示する場合,\ あらかじめ共有点を求めておく. 2点の共有点が求まるから,\ 直線x=y+1はその2点を結ぶだけである. また,\ y=x²-1の頂点が(0,\ -1)であるのと同様,\ x=y²-1の頂点は(-1,\ 0)である. 以上を考慮すると上図を素早く描けるだろう. 面積の形を考えても,\ 問題がx=で与えられていることを考えてもy軸方向へ定積分するしかない. 2次関数と直線間の面積であるから,\ 16公式\ ∫α}{β}(x-α)(x-β)dx=-16(β-α)³\ を利用しよう. まず\ yの3次関数\ x=12y³+y²\ のグラフを図示することを考える. このとき,\ x=12y³+y²=12y²(y+2)\ と変形できることに気付けるかが重要である. 面積の問題では極値が必要ないので,\ 微分して増減表を作成する必要も基本的にはない. 簡単に因数分解できるならば,\ そこから求まる共有点の情報だけグラフが図示できる. そこで,\ 面積の問題では常に因数分解できないかを意識しておくことが重要なのである. x=0のときy=0\ (重解),\ -2を解にもつから,\ {原点で接し,\ (0,\ -2)で交わる3次関数}である. さて,\ 図示するとy軸に平行な直線間の面積とわかるから,\ できればx軸方向に定積分したい. ところが,\ x=12y³+y²\ をy=の形に変形することができない. そこで,\ {y軸方向の定積分で容易に求まる緑色の部分の面積を利用}する. そのためには,\ x=32,\ 8\ のときのy座標を次のようにして求めることになる. 結局,\ {S=(横8縦2の長方形)-(横32縦1の長方形)-(緑色の部分)}\ として求まる. このように,\ 長方形を利用すると楽に面積が求まることは意外に多い. 単純には,\ Sを点線で分割して求めるのが最もわかりやすいかもしれない. 上側はx=8とx=12y³+y²\ に挟まれた部分を1→2でy方向に定積分,\ 下側は長方形である. 置換積分を利用}(重要})}] 発想は多少高度になるだが,\ 今後の応用を考えると最も重要な解法である. 求めたいのは\ ∫3/2}{8}ydx\ だが,\ yをxで表せないためにこのままxで積分することができない. そこで,\ {逆にdxをdyに変換してyで積分する}ことを考える.\ 要は{置換積分}である. まず,\ {微分してdxとdyの関係を求める.}\ これでdxをdyに変換できる. dxをdyにする時点で{積分区間も変化する}ので忘れずに確認する. x軸に平行な直線間の面積であるから,\ できればy方向に定積分して求めたい. つまり\ ∫1}{3}xdy\ を計算したいわけだが,\ 高校範囲では\ y=tan x\ をx=にすることができない. そこで,\ 前問の別解のように{置換積分}してxについての積分に変換する. 積分区間の変化にも注意すると,\ 結局\ {x}{cos²x}\ の積分計算に帰着するが,\ やや厄介である. まず,\ (tan x)’={1}{cos²x}\ であることに着目して{部分積分}する. さらに,\ tan xが{「分子が分母の微分型」}\ ∫{f'(x)}{f(x)}dx=logf(x)}+C\ を適用できるのは基本である. 部分積分に気付きにくいと思うかも知れない. 実は,\ 根本的に{∫xdy\ と\ ∫ydx\ が部分積分によって結びついている}のである.  (最後の=が部分積分) 本問は以上のような多くのポイントを包含する良問である. ただ,\ 大きい長方形から小さい長方形と緑色の部分を引いて求めるほうが楽である.

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