平方根の計算(分母の有理化)

分母が${ a b}$の分数は,\ ${( a+ b)( a- b)=a-b\ を利用して有理化する.$ 分母が$ a+ b$ならば分母分子に$ a- b$を,\ 分母が$ a- b$ならば$ a+ b$を掛ける. 念のために確認しておくと,\ ( a+ b)( a- b)=( a)²-( b)²=a-b\ である. 途中過程を丁寧に記述したが,\ 実際には(7+2)(7-2)=5のように暗算しよう. 安易に分子を展開してはならない.\ 約分できる場合は約分してから展開する. 有理化の計算問題では普通最後に展開するが,\ 他の問題では因数分解した形で答えることが多い. 3(6+3)=33(2+1) それぞれの分数を有理化した後で足し合わせてもよいが,\ {有理化と通分を同時に行う}と速い. {○}{ a+ b}+{□}{ a- b}\ のような形の計算問題で有効な方法である. まずはそれぞれの分数を有理化する.\ その後12がくくり出せるのでさっさと出しておく. 規則性をよく観察すると多くの項が消えるので,\ 残ったものを計算すればよい. わかりにくいという人は並び替えて考えると,\ 最初と最後だけが残ることに気付けるだろう. このように途中の項が消える和は,\ 数\text Bの数列で詳しく学習する. 分母が3項の場合,\ 一度の計算では完全に有理化できない.\ まず,\ {2項を1カタマリとして扱う.} このとき,\ どの2項を1カタマリとするかは3通り考えられるので,\ 後の計算が楽になるものを選ぶ. を考慮すると,\ (2+3)+5\ として扱うと楽になる. 分母分子に(2+3)-5\ を掛けて整理すると,\ 分母が26\ になり,\ 普通の有理化に帰着する. ここでは丁寧に記述したが,\ (2+3)²=5+26\ くらいは暗算する癖をつけておきたい. 常に1回で分母を1つの項にできるとは限らない.\ 問題によっては別解のように頑張るしかない. -6-2{15}は-2をくくり出してから有理化しないと計算が大変になる. (7)²=(3)²+2²を考慮し,\ (3-2)を1カタマリとして扱う. また,\ 有理化と通分を同時に行える型である. 分子の展開では,\ 共通部分(7+3)や(7-3)を1カタマリとして扱うと楽になる. {分母が4項の場合は2項ずつをそれぞれ1カタマリとして扱う.} 本問の場合はたまたま2乗後に6しか残らないので,\ あと1回の有理化で済む. 分母が因数分解できることに気付けば,\ 別解のような解答も可能になる.
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