整式の降べきの順の整理と高校数学の正しい学習姿勢①

スポンサーリンク

単項式数や文字をいくつか掛け合わせた式.  $3x²y$
{係数  単項式において\文字以外の部分. 着目文字によって変化する.
単項式$-3x²y$において,\ $xとy両方に着目}すると & 係数は-3
\xのみに着目}すると & 係数は-3y
yのみに着目}すると & 係数は-3x²
単項式の次数 {掛け合わせた文字の個数.\着目文字によって変化する.
単項式$x³y²$において,{xとy両方に着目}すると & 次数は5 xのみに着目}すると & 次数は3 \{yのみに着目}すると & 次数は2
1や$-2$など,\ {0}{以}{外}の数だけの単項式の次数は0(掛け合わせた文字は0個).
{数「0」の次数は定めない.} \多項式 単項式の{和}で表される式.
多項式$2x²-5x+6$は,\ 単項式$2x²,\ -5x,\ 6$の{和} \{多項式の次数 {各項の次数のうち最大のもの. \着目文字によって変化する.
多項式$x²y+3xy+1$において,\xとy両方に着目}すると & 次数は3 \{xのみに着目}すると & 次数は2 {yのみに着目}すると & 次数は1
定数項 \着目した文字を含まない項.\ 着目文字によって変化する.
多項式$x²+y+2$において,\ xとy両方に着目}すると & 定数項は2 {xのみに着目}すると & 定数項はy+2 yのみに着目}すると & 定数項はx²+2
{整式   {単項式と多項式を合わせて整式という.同類項  整式の中の{着目した文字の部分が同じ項.分配法則$ax bx=(a b)x$}を利用して1つにまとめることができる.{整式の整理
同類項をまとめ,\ \項の次数が高い方から順に並べる.着目文字によって変化する.
これを「降}{こう}べきの順に整理する」という.\ 普通,\ 降べきの順に整理する.
逆に,項の次数が低い方から順に並べることを{昇}{しょう}べきの順に整理する」という
数「0」の次数を定めないのは以下のような理由による.
一般に,\ m次式とn次式を掛けるとm+n次式になるという法則があるように思われる.
例えば,\ 2次式x²と3次式x³を掛けると2+3=5次式x⁵になる(x² x³=x⁵).
同様に,\ 2次式x²と0次式3を掛けると2+0=2次式3x²になる(x²3=3x²).
ここで,\ x²0=0である.
つまり,\ 2次式x²と0次式0を掛けて2+0=0次式0となっており,\ 法則が成立していない.
「0」だけのせいで法則を捨て去るより,\ 「0」を特殊として除外するほうが合理的である.
このような例外を「ふ~ん」で終わらせるのは高校数学の正しい学習姿勢ではない.
{出題者があえて例外などの盲点を突いてくることも少なくない}からである.
次数に関する問題では,\ 0が特殊だという認識がなければ満点解答を書けない可能性がある.
高校数学では中学数学よりもはるかに丁寧な学習が要求されるのである.
次の整式を[ ]内の文字に着目して降べきの順に整理せよ.
 $1+3y²+x²y²+2y+x³ [xとy],[x],[y]$ xとy両方に着目}して降べきの順に整理すると & {x²y²+x³+3y²+2y+1} xのみに着目}して降べきの順に整理すると & {x³+y²x²+3y²+2y+1yのみに着目}して降べきの順に整理すると & {(x²+3)y²+2y+x³+1}
xとyに着目するとx²y²は4次(4個の文字の積)であるから,\ x²y²から順に並べる.
定数項は1である.
xに着目するとx²y²は2次(2個のxの積)であるから,\ 最高次の項x³(3次)から順に並べる.
また,\ x²y²の項のy²は係数となるから,\ y²x²のようにxよりも先に書くべきである.
定数項は3y²+2y+1である.
yに着目すると3y²とx²y²は同類項(同じy²の項)である.
よって,\ (3+x²)y²のように1つにまとめる必要がある.\ このとき,\ 3+x²が係数となる.
この係数はxの2次式とみなせるから,\ 普通はxについての降べきの順に並べてx²+3とする.
同類項をまとめるとき,\ yでくくれるからといって(x²y+3y+2)yとしてしまうミスが非常に多い.
{着目した文字の部分が同じ項が同類項であるから,\ x²y²と2yはyについての同類項ではない.}
式変形として正しくても,\ 同類項以外もまとめてしまうと降べきの順に整理したことにはならない.
そもそも何故降べきの順(次数ごと)に整理するのだろうか.
(x²y+3y+2)y+x³+1としてしまうと,\ 一見では定数項がx³+1であることしかわからない.
挙げ句の果てにはyの1次式と誤解してしまう恐れすらある.
次数はその整式がもつ最大の特徴であり,\ それがわからないようでは整理する意味がない.
一見してその整式の次数や各項の係数や定数項がわかるようにするための降べきの順なのである.
もっとも,\ 常に降べきの順に整理することがベストとは限らない.
降べきの順に整理するにしても,\ どの文字に着目するかの選択も必要になる.
さらに昇べきの順や,\ これら以外の順に整理すべき場合もあり,\ 今後学んでいくことになる.
{ただ何も考えずに式を整理・変形するのは高校数学の正しい学習姿勢ではなく,\ 必ず行き詰まる.}
解説・解答を見るときも,\ 単に「こう整理・変形すれば解けるのか~」だけでは不十分である.
{なぜそのような整理・変形をすべきなのかも常に考えることを心がけてほしい}.
タイトルとURLをコピーしました