因数分解の工夫 置き換え

(6)の解答第1式で2乗がついてない誤りがありますm(_ _)m

次の式を因数分解せよ. $(x²-2x)²-18(x²-2x)+45$   & $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-24$ $8x^6-19x³y³-27y^6$ & $(xz+y)²-(x+yz)²$ $4x²-y²-9z²+6yz$ & $(a²-b²+c²)²-4a²c²$ {因数分解の工夫 置き換え 共通部分の置き換によって本質をあぶり出し,\ 基本的な型に帰着させる. x²-2x=Aとすると,\ 単にA²-18A+45=(A-3)(A-15)である. 実際には,\ いちいち別の文字で置き換えずに( )で1つのカタマリとして扱うのが好ましい. (x²-2x-3)(x²-2x-15)で安心せずに,\ さらに因数分解できないか確認すること. 一旦展開して整理しなければならない. このとき,\ {共通部分ができるような組み合わせで展開する}と後が楽になる. (A-3)(A-8)-24=A²-11Aとなるが,\ 因数分解が目的なのでこれ以上展開しなくてよい. A²-11A=A(A-11)とした後,\ 置き換えた部分を元に戻す.\ さらに因数分解できる. 実質2次式\ 8A²-19AB-27B²であり,\ たすき掛けによって因数分解する. さらに,\ 公式\ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²),a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)\ を適用する. xz+y=A,\ x+yz=Bとすると,\ A²-B²=(A+B)(A-B)である. さらに,\ 共通因数ができるように組み合わせて因数分解できる. 可能な組み合わせは1つではなく,\ 例えば次のようにしてもよい. xz+y+x+yz=xz+x+yz+y=x(z+1)+y(z+1)=(x+y)(z+1) 後ろの3項から-をくくり出し,\ a²-2ab+b²=(a-b)²\ とできることに気付く必要がある. このことにより,\ A²-B²=(A+B)(A-B)に帰着する. (2x)²-(y-3z)²=(2x+y-3z)(2x-y-3z)\ としないように注意. y-3zを1つのカタマリとみているので,\ 常に(y-3z)として扱わなければならない. a²-b²+c²=A,\ 2ac=Bとすると,\ A²-B²=(A+B)(A-B)である. よく観察すると公式\ a²2ab+b²=(a b)²が使え,\ 再びa²-b²型に帰着する. 最後,\ a,\ b,\ cの順に並び替えておくとよい.
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