展開の工夫① 共通部分の置き換え

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次の式を展開せよ. $(x+2y+1)(x+2y-3)$ & $(2x²-4xy+3y²)(2x²+4xy+3y²)$ $(x+2y-3z)(x-2y+3z)$   & $(a-b-c+d)(a+b-c-d)$ {展開の工夫 共通部分の置き換え 一見して公式の形ではないからといって,\ いきなり展開し始めてはならない. 式をよく観察し,\ 共通部分を置き換えて考えると計算量を格段に減らすことができる. 置き換えは,\ 本質を見抜きやすくし,\ 時間短縮・ミス減少にもつながる. x+2yが共通部分であるから,\ これを置き換えて考える. 実際には,\ {置き換えたつもりで括弧でくくって1つのカタマリとして扱う}のが普通である. 括弧で扱うのが難しいと感じるならば,\ 別解のように別の文字で置き換えるとよい. ただし,\ ,\ やさらにその後の応用性を考えると本解のように扱えることが望ましい. Aにx+2yを代入するときは括弧を付け忘れないこと.  ×\ x+2y²-2 x+2y-3 2x²+3y²が共通部分であるからこれを置き換えると,\ (a+b)(a-b)=a²-b²に帰着する. 置き換えることで,\ {見た目が複雑な式でも要は公式という本質が浮かび上がる}のである. 一見しただけでは共通部分が見当たらない. ここで,\ -(a+b)=-a-bである.\ 逆に,\ -a-b=-(a+b)である. つまり,\ {前に-があるときに括弧をつけると括弧の中の符号が逆になる.} このことの利用を考えて括弧を付けてみると,\ 共通部分を作り出すことができる. すなわち,\ {-2y+3z=-(2y-3z)}と考える.\ 後は(a+b)(a-b)=a²-b²である. x²-(2y-3z)²=x²-4y²+12yz+9z²\ としないこと.\ 2乗の前の-は全体にかかる. と同じポイントを意識すると共通部分が2つでき,\ (a+b)(a-b)=a²-b²に帰着する.
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