因数分解公式と3次式の因数分解② a³+b³+c³-3abc

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)$を利用して$a³+b³+c³-3abc$を因数分解せよ. {因数分解公式と3次式の因数分解 まず,\ a³+b³の部分に与えられた等式を適用する. 次に,\ (a+b)³+c³をA³+c³とみて公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)\ を適用する. 残りは-3abでくくることができる.\ 共通因数a+b+cができるので,\ くくり出せばよい. 最後,\ {輪環の順}(a→b→c→a)に整理するのが普通である. 本問の結果は{公式として暗記必須}である.\ 最も覚えにくい公式の1つだが,\ 次数に着目して覚える. 等式\ a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)\ はよく利用するので要暗記である(詳細は対称式の項目). 展開公式\ (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+b³+3ab(a+b)\ を変形したものである. (x-y)³+(y-z)³+(z-x)³$ $=A³+B³+C³=(A+B+C)}(A²+B²+C²-AB-BC-CA)+3ABC$ $=0}+3ABC={3(x-y)(y-z)(z-x)}$ $x-y=A,\ y-z=B}$とすると $z-x=-(A+B)}$ { }$(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³$ $=A³+B³+{-(A+B)}\³=A³+B³}-(A+B)³$ $=(A+B)³}-3AB(A+B)}-(A+B)³}=-3AB(A+B)}$ $=-3(x-y)(y-z)(x-z)}={3(x-y)(y-z)(z-x)} ,\ 公式の形であることに気付かなければならない.\ がやや気付きにくい. 普通に因数分解しようとすると大変な計算になるが,\ 公式を巧みに利用して楽に因数分解できる. 一度経験し,\ パターンとして覚えておかなければ厳しいだろう. まず,\ 本問の原理を確認する. 公式を{a³+b³+c³=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)+3abc}\ と変形する. {a+b+c=0ならば,\ a³+b³+c³=0+3abc=3abcと因数分解できる.} 等式\ a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)\ を利用する別解もある. 一応示したが,\ かなり回りくどいのであえてこの解法を選択する理由はないだろう.
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