3変数対称式の値(x²+y²+z²、x³+y³+z³など)

「-,1」となっているところがありますが、「-1」ですm(_ _)m

基本対称式\ x+y+z},xy+yz+zx、xyz$}\ のみで表す. 3変数対称式を基本対称式で表すときの基本公式が以下の2つである. {x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)}  {x³+y³+z³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)+3xyz}  は(x+y+z)²を展開すると導けるが,\ は暗記しておかなければどうしようもない. 因数分解公式\ x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)\ として覚えよう. 4乗は2乗の2乗と考え,\ においてx→x²,\ y→y²,\ z→z²\ とする. さらに,\ (yz)²+(zx)²+(xy)²\ を基本対称式で表すために再びを利用する. において,\ x→yz,\ y→zx,\ z→xy\ とすればよい. ,\ ,\ 対称式の分数は{通分}すると基本対称式で表せる. ではの(xy)²+(yz)²+(zx)²=(xy+yz+zx)²-2xyz(x+y+z)を利用した. まともに展開すると別解のようになるが,\ 基本対称式で表すのが難しい. x²y+x²z=x²(x+y+z)-x³\ のように考える必要がある. また,\ x²+y²+z²とx³+y³+z³の値も必要になる. 実は,\ (x+y)(y+z)(z+x)の値を求める非常に上手い方法がある. x+y+z=-1より,\ x+y=-(z+1),\ y+z=-(x+1),\ z+x=-(y+1)\ である. これらを代入した後で展開すると,\ 直ちに基本対称式で表せ,\ 計算量も少なく済む.
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